Содержание

Нильпотентный идеал
- Определение
- Литература

Нильпотентный идеал

Определение

Пусть $R$ — ассоциативное кольцо и $\rho$ некоторый его идеал (левый, правый или двусторонний).

Определение 1. Элемент $a\in R$ называется нильпотентным¹⁾, если $a^m=0$ для некоторого целого числа $m>0$ .

Определение 2. Идеал $\rho$ (левый, правый или двусторонний) называется ниль-идеалом²⁾, если каждый из его элементов нильпотентен.

Определение 3. Идеал $\rho$ (левый, правый или двусторонний) называется нильпотентным³⁾, если существует целое число $m>0$ такое, что $a_1a_2\ldots a_m=0$ для любых $a_1,\ldots,a_m\in\rho$ , то есть $\rho^m=0$ .

Очевидно, что нильпотентный идеал является ниль-идеалом. Обратное, вообще говоря, не верно.

Предложение 1. Каждый нильпотентный элемент кольца квазирегулярен.

Доказательство.

Пусть $a^m=0$ для $m\in\mathbb{N}$ . Положим $b=-a+a^2+\ldots+(-1)^{m-1}a^{m-1}$ , тогда $a+b+ab=a+b+ba=0$ . $\blacksquare$

Следствие 1. Если $\rho$ — (левый, правый или двусторонний) ниль-идеал ассоциативного кольца $R$ , то он содержится в радикале Джекобсона $J(R)$ .

Предложение 2. Пусть кольцо $R$ содержит ненулевой нильпотентный левый (правый) идеал, тогда $R$ содержит ненулевой нильпотентный идеал.

Доказательство.

Пусть $\rho$ — ненулевой нильпотентный левый идеал, то есть $\rho^m=0$ для некоторого $m\in\mathbb{N}$ . Тогда идеал $\rhoR$ — двусторонний, и $(\rho R)^m=0$ , так как

$(\rho R)^m=\rho R\rho R\ldots\rho R=\rho(R\rho\ldots R\rho)R\subseteq\rho(\rho\ldots\rho)R=\rho^mR=0$ .

$\blacksquare$

Литература

Херстейн И. «Некоммутативные кольца», Мир, 1972.

абстрактная алгебра, ассоциативное кольцо, нильпотентный идеал, нильпотентный элемент

¹⁾

nilpotent

²⁾

nil-ideal

³⁾

nilpotent ideal

glossary/ring/ideal/nilpotent.txt · Последние изменения: 14.10.2011 10:34:41 — Ладилова Анна

Наверх