Квазирегулярный идеал

Квазирегулярные элементы

Пусть $R$ — ассоциативное кольцо и $a\in R$ — некоторый его элемент.

Определение 1. Элемент $a\in R$ называется лево-квазирегулярным¹⁾, если существует такой элемент $a'\in R$ , что $a+a'+a'a=0$ . Элемент $a'$ называется левым квазиобратным²⁾ для $a$ .

Определение 2. Элемент $a\in R$ называется право-квазирегулярным³⁾, если существует такой элемент $a'\in R$ , что $a+a'+aa'=0$ . Элемент $a'$ называется правым квазиобратным⁴⁾ для $a$ .

Предложение 1. Пусть элемент $a\in R$ лево-квазирегуляный с левым квазиобратным $x$ и право-квазирегулярный с правым квазиобратным $y$ . Тогда $x=y$ .

Доказательство.

Из соотношений $a+x+xa=0$ и $a+y+ay=0$ следует, что $ay+xy+xay=0$ и $xa+xy+xay=0$ , откуда $xa=ay$ . Так как $a+x+xa=a+y+ay$ , то $x=y$ . $\blacksquare$

Определение 3. Элемент $a\in R$ называется квазирегулярным⁵⁾, если он одновременно лево-квазирегулярный и право-квазирегулярный. Элемент $a'$ , совпадающий⁶⁾ с его левым и правым квазиобратными, называется квазиобратным⁷⁾ для $a$ .

Предложение 2. Пусть кольцо $R$ имеет единицу, тогда

элемент $a\in R$ лево-квазирегулярен тогда и только тогда, когда $1+a$ обратим слева в $R$ ;
элемент $a\in R$ право-квазирегулярен тогда и только тогда, когда $1+a$ обратим справа в $R$ ;
элемент $a\in R$ квазирегулярен тогда и только тогда, когда $1+a$ обратим в $R$ .

Доказательство.

В кольце с единицей соотношения $a+a'+a'a=0$ и $a+a'+aa'=0$ можно перегруппировать так, чтобы $(a'+1)(a+1)=1$ и $(a+1)(a'+1)=1$ , соответственно, что доказывает предложение. $\blacksquare$

Квазирегулярные идеалы

Определение 4. Идеал (левый, правый, двусторонний) называется лево-квазирегулярным, если таким является каждый его элемент.

Определение 5. Идеал (левый, правый, двусторонний) называется право-квазирегулярным, если таким является каждый его элемент.

Определение 6. Идеал (левый, правый, двусторонний) называется квазирегулярным, если таким является каждый его элемент.

Предложение 3. Если левый идеал лево-квазирегулярный, то он квазирегулярный.

Доказательство.

Пусть $\rho$ — лево-квазирегулярный левый идеал кольца $R$ , и $x\in\rho$ , тогда $x+a+ax=0$ для некоторого $a\in R$ . Заметим, что $a\in\rho$ , так как $x,ax\in\rho$ . Поэтому $y+a+ya=0$ для некоторого $y\in R$ . Мы видим, что $x$ — правый квазиобратный, а $y$ — левый квазиобратный для элемента $a$ . По предложению 1 они совпадают, то есть $y=x$ , и $x+a+xa=0$ . Таким образом $x$ — право-квазирегулярный, а значит, квазирегулярный элемент. В силу произвольности выбора $x\in\rho$ лево-квазирегулярный идеал является квазирегулярным. $\blacksquare$