Определение 1. Левым радикалом Джекобсона1) ассоциативного кольца
называется совокупность элементов из
, которые аннулируют все неприводимые левые
-модули, или само кольцо, если неприводимых левых
-модулей не существует. Если
обозначает аннулятор левого модуля
, то по определению
,
где пробегает все возможные неприводимые левые
-модули.
Поскольку аннуляторы — двусторонние идеалы в
2), то
является двусторонним идеалом.
Теорема 1. , где
пробегает все регулярные максимальные левые идеалы кольца
, а
— наибольший двусторонний идеал из
, лежащий в
.
Доказательство.
Доказательство.
Пусть — левый радикал Джекобсона, тогда
— неприводимый левый
-модуль, поэтому3)
для некоторого регулярного максимального левого идеала. В этом случае
состоит из таких элементов
, что
или, что то же самое,
, то есть
4). Обратно, пусть
, тогда
, поэтому на фактормодуле
элемент
действует тривиально5), а значит,
. Таким образом,
для некоторого регулярного максимального левого идеала. Кроме того
двусторонний, так как
двусторонний.
Заметим, что из регулярности следует, что
, так как найдется
такое, что
для всех
. Но если
, то
, а значит,
.
Остается показать, что — максимальный двусторонний идеал, содержащийся в
. Пусть
— двусторонний идеал кольца
, содержащийся в
. Тогда
, то есть
.
Лемма. Пусть — ассоциативное кольцо, тогда собственный регулярный левый идеал
содержится в некотором максимальном левом идеале
, причем
регулярен.
Доказательство.
Доказательство.
Пусть — левый регулярный идеал, то есть
для некоторого
. Рассмотрим множество
всех собственных левых идеалов, содержащих
. Оно частично упорядочено. Кроме того, никакой идеал
не содержит
, иначе
, и
. Поэтому
индуктивно упорядочено, и по лемме Цорна существует максимальный собственный левый идеал
, содержащий
. Очевидно, он регулярен, так как
.
Теорема 2. Пусть — ассоциативное кольцо и
его левый радикал Джекобсона, тогда
Доказательство.
Доказательство.
1. Обозначим , где
пробегает все регулярные максимальные левые идеалы кольца
, через
. Согласно теореме 1,
, где
пробегает все регулярные максимальные левые идеалы кольца
, и
, откуда
.
Покажем, что множество для произвольного
совпадает с
. Очевидно, что
— левый идеал в
. Более того,
регулярный левый идеал, так как для любого
элемент
лежит в
. Предположим, что
собственный, тогда он содержится в некотором максимальном левом идеале
, который является регулярным. Поэтому в частности
, откуда
для любого
. Поскольку
, то
, то есть
— противоречие.
Итак, мы показали, что . Тогда найдется такой
, что
, то есть
для произвольно выбранного
. Лево-квазирегулярность
, а значит, и
, доказана.
2. Пусть найдется лево-квазирегулярный левый идеал , не содержащийся в
. Это означает, что
, то есть
для некоторого неприводимого
-модуля
. Тогда можно выбрать
, чтобы
. Поскольку
— ненулевой
-подмодуль в неприводимом модуле
, то
. Следовательно,
для некоторого
.
В силу того, что — лево-квазирегулярный, для выбранного ранее
найдется такой
, что
. Тогда
, откуда
. Получили противоречие, которое доказывает, что
.
Теорема 3. , где
пробегает все максимальные регулярные левые идеалы кольца
.
Доказательство.
Доказательство.
Это прямое следствие доказательства теоремы 2. Действительно, из п.1 доказательства следует, что лево-квазирегулярный идеал, поэтому
. Из теоремы 1 следует обратное включение
6).
Следствие 1. — единственный максимальный лево-квазирегулярный левый идеал в
.
Определение 2. Правым радикалом Джекобсона7) ассоциативного кольца
называется совокупность элементов из
, которые аннулируют все неприводимые правые
-модули, или само кольцо, если неприводимых правых
-модулей не существует. Если
обозначает аннулятор правого модуля
, то по определению
,
где пробегает все возможные неприводимые правые
-модули.
Поскольку аннуляторы — двусторонние идеалы в
8), то
является двусторонним идеалом.
Теорема 4. , где
пробегает все максимальные регулярные правые идеалы кольца
, а
— наибольший двусторонний идеал из
, лежащий в
.
Теорема 5. , где
пробегает все максимальные регулярные правые идеалы кольца
.
Теорема 6. Пусть — ассоциативное кольцо и
его правый радикал Джекобсона, тогда
Следствие 2. — единственный максимальный право-квазирегулярный правый идеал в
.
Предложение 1. Пусть — ассоциативное кольцо, тогда
.
Доказательство.
Доказательство.
Заметим еще раз, что и
— двусторонние идеалы. Поэтому из следствия 1 и предложения 3 следует, что
— право-квазирегулярный правый идеал, а значит, по следствию 2
. Аналогично из предложения 4 и следствий 1 и 2 имеем обратное включение
.
Определение 3. Идеал называется радикалом Джекобсона9) или квазирегулярным радикалом10) ассоциативного кольца
.
Предложение 2. Если — идеал ассоциативного кольца
, то
.
Доказательство.
Доказательство.
Докажем сначала, что идеал полупростого кольца
полупрост. Пусть
, тогда
— левый идеал кольца
. Заметим, что
, иначе
, то есть
— нильпотентный левый идеал в
и по следствию 1
. По той же причине
. Но
. Таким образом левый идеал
в
содержит квазирегулярные элементы, поэтому в силу полупростоты
— противоречие с тем, что
.
Идеал по теореме 3 состоит из лево-квазирегулярных элементов, то есть для любого
найдется
такой, что
. Так как
и
, то
. Следовательно,
лево-квазирегулярен в
, откуда
.
Обратно, так как — двусторонний идеал, то каноническая проекция
является гомоморфизмом колец. Образ идеала
,
— идеал в
. Из того, что
полупросто (по п.1 теоремы 7) следует, что
полупросто. Тогда
, то есть
.
Теорема 7. Правило , сопоставляющее ассоциативному кольцу
его радикал Джекобсона
, является радикалом(в смысле Куроша), то есть выполнено:
Доказательство.
Доказательство.
1. Равенство следует из предложения 2, если положить
.
2. Каноническая проекция каждому максимальному регулярному левому идеалу
ставит в соответствие максимальный левый идеал
, поскольку
. Идеал
также регулярен, так как соотношение
влечет
. В силу теоремы 2 радикал Джекобсона — это пересечение всех регулярных максимальных левых идеалов в
:
, но тогда
— пересечение некоторых максимальных регулярных левых идеалов кольца
, а значит, оно содержит радикал Джекобсона этого кольца. Откуда
.
3. Можно считать, что — эпиморфизм. Пусть
— пересечение максимальных регулярных левых идеалов в
. Прообраз
— максимальный регулярный левый идеал. Таким образом
, а значит,
.
Теорема 8. .
Пример 1. . Действительно, в кольце целых чисел
каждый идеал регулярный11). Все максимальные идеалы имеют вид
, где
— простое число. Значит,
.