Порядок элемента группы

Описание

Пусть $(G,\cdot)$ — группа и $a\in G\backslash\{e\}$ — элемент группы.

Определение 1. Говорят, что $a$ имеет порядок¹⁾ $\textrm{ord}~a=q$ , если $q$ — наименьшее положительное число такое, что $a^q=e$ , то есть $\textrm{ord}~a=\min\{n\in\mathbb{N}\vert a^n=e\}$ . Если такого положительного $q$ не существует, то говорят, что $a$ имеет бесконечный порядок²⁾. Порядок единичного элемента $e$ считается равным нулю.

Предложение 1. Пусть $G$ — конечная группа и $a\in G\backslash\{e\}$ — некоторый ее элемент. Тогда $\textrm{ord}~a$ делит порядок группы $G$ .

Примеры

В множестве целых чисел $\mathbb{Z}$ любой ненулевой элемент имеет бесконечный порядок.
В группе классов вычетов $\mathbb{Z}_6$ элементы $\overline{1}$ и $\overline{5}$ имеют порядок 6, элементы $\overline{2}$ и $\overline{4}$ — порядок 3, элемент $\overline{3}$ — порядок 2.