Содержание
Делитель нуля
Делители нуля
Пусть — произвольное кольцо.
Определение 1. Элемент называется левым делителем нуля1), если существует такой
, что
. Элемент
называется правым делителем нуля2), если существует такой
, что
. Элемент
называется делителем нуля3), если он является одновременно левым и правым делителем нуля.
Замечание 1. Если — коммутативное кольцо, то левый делитель нуля является правым делителем нуля и наоборот.
Пример 1. Пусть — кольцо матриц порядка 2. Матрица
является делителем нуля, так как
.
Область целостности
Определение 2. Кольцо называется целостным4), или областью целостности5), если это коммутативное ассоциативное кольцо с единицей отличной от нуля и в нем нет ненулевых делителей нуля.
Пример 2. Кольцо целых чисел — целостное.
Пример 3. Кольцо классов вычетов целостное тогда и только тогда, когда
— простое число.
В теории некоммутативных колец в определении области целостности не требуют коммутативности. Кроме того, иногда убирают требование , которое исключает случай
. Поэтому определение принимает следующую форму:
Определение 2'. Кольцо называется целостным, или областью целостности, если оно ассоциативное с единицей и в нем нет ненулевых левых или правых делителей нуля.
Предложение 1. Пусть — целостное кольцо, тогда кольцо многочленов от одной переменной
— целостное.