Содержание

Делитель нуля

Делитель нуля

Делители нуля

Пусть $(R,+,\cdot)$ — произвольное кольцо.

Определение 1. Элемент $x\in R$ называется левым делителем нуля¹⁾, если существует такой $y\neq 0$ , что $xy=0$ . Элемент $x\in R$ называется правым делителем нуля²⁾, если существует такой $y\neq 0$ , что $yx=0$ . Элемент $x\in R$ называется делителем нуля³⁾, если он является одновременно левым и правым делителем нуля.

Замечание 1. Если $R$ — коммутативное кольцо, то левый делитель нуля является правым делителем нуля и наоборот.

Пример 1. Пусть $\textrm{Mat}_2(F)$ — кольцо матриц порядка 2. Матрица $\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}$ является делителем нуля, так как

$\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}$ .

Область целостности

Определение 2. Кольцо $R$ называется целостным⁴⁾, или областью целостности⁵⁾, если это коммутативное ассоциативное кольцо с единицей отличной от нуля и в нем нет ненулевых делителей нуля.

Пример 2. Кольцо целых чисел $\mathbb{Z}$ — целостное.

Пример 3. Кольцо классов вычетов $\mathbb{Z}_m$ целостное тогда и только тогда, когда $m$ — простое число.

В теории некоммутативных колец в определении области целостности не требуют коммутативности. Кроме того, иногда убирают требование $0\neq 1$ , которое исключает случай $R=0$ . Поэтому определение принимает следующую форму:

Определение 2'. Кольцо $R$ называется целостным, или областью целостности, если оно ассоциативное с единицей и в нем нет ненулевых левых или правых делителей нуля.

Предложение 1. Пусть $R$ — целостное кольцо, тогда кольцо многочленов от одной переменной $R[T]$ — целостное.

Литература

абстрактная алгебра, кольцо, делитель нуля, область целостности, целостное кольцо

¹⁾

left zero divisor

²⁾

right zero divisor

³⁾

zero divisor

⁴⁾

integral ring

⁵⁾

integral domain

glossary/ring/element/zero-divisor.txt · Последние изменения: 15.02.2014 11:56:18 — Ладилова Анна

Наверх