Делитель нуля

Делители нуля

Пусть $(R,+,\cdot)$ — произвольное кольцо.

Определение 1. Элемент $x\in R$ называется левым делителем нуля1), если существует такой $y\neq 0$, что $xy=0$. Элемент $x\in R$ называется правым делителем нуля2), если существует такой $y\neq 0$, что $yx=0$. Элемент $x\in R$ называется делителем нуля3), если он является одновременно левым и правым делителем нуля.

Замечание 1. Если $R$ — коммутативное кольцо, то левый делитель нуля является правым делителем нуля и наоборот.

Пример 1. Пусть $\textrm{Mat}_2(F)$ — кольцо матриц порядка 2. Матрица $\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}$ является делителем нуля, так как

$\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}$.

Область целостности

Определение 2. Кольцо $R$ называется целостным4), или областью целостности5), если это коммутативное ассоциативное кольцо с единицей отличной от нуля и в нем нет ненулевых делителей нуля.

Пример 2. Кольцо целых чисел $\mathbb{Z}$ — целостное.

Пример 3. Кольцо классов вычетов $\mathbb{Z}_m$ целостное тогда и только тогда, когда $m$простое число.

В теории некоммутативных колец в определении области целостности не требуют коммутативности. Кроме того, иногда убирают требование $0\neq 1$, которое исключает случай $R=0$. Поэтому определение принимает следующую форму:

Определение 2'. Кольцо $ R $ называется целостным, или областью целостности, если оно ассоциативное с единицей и в нем нет ненулевых левых или правых делителей нуля.

Предложение 1. Пусть $ R $ — целостное кольцо, тогда кольцо многочленов от одной переменной $R[T]$ — целостное.

Литература

1) left zero divisor
2) right zero divisor
3) zero divisor
4) integral ring
5) integral domain
glossary/ring/element/zero-divisor.txt · Последние изменения: 15.02.2014 15:56:18 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0