Обратный элемент
Левый и правый обратный
Пусть задана полугруппа .
Определение 1. Элемент называется левым обратным1) к элементу
, если выполнено условие
, где
— левая единица.
Определение 2. Элемент называется правым обратным2) к элементу
, если выполнено условие
, где
— правая единица.
Определение обратного элемента
Пусть — моноид.
Определение 3. Элемент называется обратным3) к элементу
, если он одновременно левый обратный и правый обратный, то есть
, где
— единица. Элемент
при этом называют обратимым4).
Если операция мультипликативна, то элемент обратный к
обычно обозначают символом
.
Пример 1. Обратным элементом для в поле рациональных чисел
является
.
Если операция аддитивна, то элемент обратный к
обычно обозначают символом
и называют противоположным5).
Пример 2. Противоположным элементом для в абелевой группе целых чисел
является
.
Предложение 1. Пусть — полугруппа, в которой существует левая единица
. Предположим, что у каждого элемента есть левый обратный. Тогда
— единица и всякий левый обратный является также обратным, то есть
— группа.
Предложение 2. Если в моноиде для элемента
существует обратный, то он единственный, то есть если
, то
.