Содержание
Отношение эквивалентности
Определения
Определение 1. Пусть — некоторое бинарное отношение на множестве
. Будем говорить, что
— отношение эквивалентности1), если оно одновременно удовлетворяет свойствам
- рефлексивности:
для всех
;
- симметричности:
для всех
;
- транзитивности:
для всех
.
В этом случае вместо употребляется запись
2), где
.
Пример 1. Отношение равенства на множестве действительных чисел является отношением эквивалентности.
Пример 2. Отношение на множестве
является отношением эквивалентности.
Определение 2. Подмножество называется классом эквивалентности3), содержащим
. Любой элемент
называется представителем класса4)
.
Разбиение множества
Определение 3. Набор подмножеств называется разбиением5) множества
, если
для любых различных
;
.
Предложение 1. Множество классов эквивалентности по отношению является разбиением множества
.
Данное предложение означает, что любые два класса эквивалентности либо совпадают, либо не пересекаются и любой элемент множества принадлежит какому-либо классу эквивалентности.
Предложение 2. Любое разбиение множества определяет некоторое отношение эквиваленитности
.
Определение 4. Множество всех классов эквивалентности множества по отношению
называется фактормножеством6) и обозначается
.
Каноническая проекция
Определение 5. Отображение , которое каждому элементу ставит в соответствие его класс эквивалентности, называется канонической проекцией7), или естественным отображением8)
на фактормножество
.
Заметим, что каноническая проекция всегда является сюръективным отображением.
Литература


