Поле частных целостного кольца

Определение

Пусть $ A $коммутативная область целостности. Положим $A^*=A\backslash\{0\}$.

Определение 1. Рассмотрим множество упорядоченных пар $A\times A^*=\{(n,m)|n\in A,m\in A^*\}$. Две упорядоченные пары $(n,m)$ и $(s,t)$ будем считать эквивалентными, если $nt=ms$. Множество классов эквивалентности на $A\times A^*$ обозначим через $Q(A)$. Определим на $Q(A)$ операции сложения $ + $ и умножения $\cdot$ по правилу:

  1. $\overline{(n,m)}\cdot\overline{(s,t)}=\overline{(ns,mt)}$,
  2. $\overline{(n,m)}+\overline{(s,t)}=\overline{(nt+ms,mt)}$,

где $\overline{(n,m)}$ обозначает класс эквивалентности элемента $(n,m)$. Множество $Q(A)$ с указанными операциями будем называть полем отношений, или полем частных1) кольца $ A $.

Предложение 1. Построенный в определении 1 объект $Q(A)$ является полем, нулевой элемент которого равен $\overline{(0,1)}$, а единичный — $\overline{(1,1)}$.

Пример 1. Поле рациональных чисел $\mathbb{Q}$ — это в точности поле частных $Q(\mathbb{Z})$ кольца целых чисел $\mathbb{Z}$.

Литература

1) quotient field
glossary/field/quotient.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:07:19 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0