Идеал кольца

Левый идеал

Определение 1. Подмножество $\rho$ кольца $R$ называется левым идеалом1), если $(\rho,+)$ является подгруппой $(R,+)$ и $\rho$ является подмодулем $R$, рассматриваемого как левый модуль над собой, то есть выполнено условие

$ar\in\rho$ для всех $a\in R$ и $r\in\rho$.

Пример 1. Пусть $R$ — кольцо, и $a\in R$. Тогда $Ra=\{r\cdot a|r\in R\}$ — левый идеал в $R$. Такой идеал называется главным левым идеалом2) кольца.

Определение 2. Левый идеал $\rho$ кольца $R$ называется собственным3), если $0\subsetneqq\rho\subsetneqq R$.

Определение 3. Левый идеал $\rho$ кольца $R$ называется максимальным4), если он не совпадает с кольцом и не содержится ни в каком собственном левом идеале $\alpha$, то есть $\nexists\alpha:\rho\subsetneqq\alpha\subsetneqq R$.

Определение 4. Левый идеал $\rho$ кольца $R$ называется регулярным5), или модулярным6), если существует такой элемент $a\in R$, что $x-xa\in\rho$ для всех $x\in R$.

Пример 2. В любом ассоциативном кольце с единицей $R$ каждый его левый идеал $\rho$ является регулярным, так как $x-x\cdot 1=0\in\rho$.

Определение 5. Если $\rho$ — левый идеал в $R$, то объект $(\rho:R)=\{x\in R\vert xR\subseteq\rho\}$ называется частным.

Предложение 1. Если $\rho$ — регулярный левый идеал кольца $R$, то $\rho$ можно вложить в максимальный левый идеал, который также регулярен.

Предложение 2. Пусть $\rho$ — максимальный левый идеал в $R$. Предположим, что он регулярен и $M=R/\rho$ – соответствующий ему неприводимый левый модуль. Тогда аннулятор $A(M)$ модуля $ M $ совпадает с $(\rho:R)$ и является наибольшим двусторонним идеалом $R$, лежащим в $\rho$.

Правый идеал

Определение 1. Подмножество $\rho$ кольца $R$ называется правым идеалом7), если $(\rho,+)$ является подгруппой $(R,+)$ и $\rho$ является подмодулем $R$, рассматриваемого как правый модуль над собой, то есть выполнено условие

$ra\in\rho$ для всех и $r\in\rho$.

Пример 1. Пусть $R$ — кольцо, и $a\in R$. Тогда $aR=\{a\cdot r|r\in R\}$ — правый идеал в $R$. Такой идеал называется главным правым идеалом8) кольца.

Определение 2. Правый идеал $\rho$ кольца $R$ называется собственным9), если $0\subsetneqq\rho\subsetneqq R$.

Определение 3. Правый идеал $\rho$ кольца $R$ называется максимальным10), если он не совпадает с кольцом и не содержится ни в каком собственном правом идеале $\alpha$, то есть $\nexists\alpha:\rho\subsetneqq\alpha\subsetneqq R$.

Определение 4. Правый идеал $\rho$ кольца $R$ называется регулярным11), или модулярным12), если существует такой элемент $a\in R$, что $x-ax\in\rho$ для всех $x\in R$.

Пример 2. В любом ассоциативном кольце с единицей $R$ каждый его правый идеал $\rho$ является регулярным, так как $x-1\cdot x=0\in\rho$.

Определение 5. Если $\rho$ — правый идеал в $R$, то положим $(\rho:R)=\{x\in R\vert Rx\subseteq\rho\}$.

Предложение 1. Если $\rho$ — регулярный правый идеал кольца $R$, то $\rho$ можно вложить в максимальный правый идеал, который также регулярен.

Предложение 2. Пусть $\rho$ — максимальный правый идеал в $R$. Предположим, что он регулярен и $M=R/\rho$ – соответствующий ему неприводимый правый модуль. Тогда аннулятор $A(M)$ модуля $ M $ совпадает с $(\rho:R)$ и является наибольшим двусторонним идеалом $R$, лежащим в $\rho$.

Двусторонний идеал

Определение 1. Подмножество $\rho$ кольца $ R $ называется двусторонним идеалом, или просто идеалом13), если $\rho$ является одновременно левым и правым идеалом кольца $ R $. В коммутативном кольце любой идеал, то есть левый, правый или двусторонний, называют просто идеалом, так как в коммутативных кольцах эти понятия совпадают.

Определение 2. Идеал $\rho$ кольца $R$ называется собственным14), если $0\subsetneqq\rho\subsetneqq R$.

Пример 1. Любой идеал в коммутативном кольце двусторонний.

Определение 3. Идеал $\rho$ кольца $R$ называется максимальным15), если он не совпадает с кольцом и не содержится ни в каком собственном идеале $\alpha$, то есть $\nexists\alpha:\rho\subsetneqq\alpha\subsetneqq R$.

См. также

Литература

1) left ideal
2) principal left ideal
3) , 9) , 14) proper ideal
4) , 10) , 15) maximal ideal
5) , 11) regular ideal
6) , 12) modular ideal
7) right ideal
8) principal right ideal
13) ideal
glossary/ring/ideal.txt · Последние изменения: 09.10.2011 16:25:55 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0