Идеал кольца
Левый идеал
Определение 1. Подмножество кольца
называется левым идеалом1), если
является подгруппой
и
является подмодулем
, рассматриваемого как левый модуль над собой, то есть выполнено условие
для всех
и
.
Пример 1. Пусть — кольцо, и
. Тогда
— левый идеал в
. Такой идеал называется главным левым идеалом2) кольца.
Определение 2. Левый идеал кольца
называется собственным3), если
.
Определение 3. Левый идеал кольца
называется максимальным4), если он не совпадает с кольцом и не содержится ни в каком собственном левом идеале
, то есть
.
Определение 4. Левый идеал кольца
называется регулярным5), или модулярным6), если существует такой элемент
, что
для всех
.
Пример 2. В любом ассоциативном кольце с единицей каждый его левый идеал
является регулярным, так как
.
Определение 5. Если — левый идеал в
, то объект
называется частным.
Предложение 1. Если — регулярный левый идеал кольца
, то
можно вложить в максимальный левый идеал, который также регулярен.
Предложение 2. Пусть — максимальный левый идеал в
. Предположим, что он регулярен и
– соответствующий ему неприводимый левый модуль. Тогда аннулятор
модуля
совпадает с
и является наибольшим двусторонним идеалом
, лежащим в
.
Правый идеал
Определение 1. Подмножество кольца
называется правым идеалом7), если
является подгруппой
и
является подмодулем
, рассматриваемого как правый модуль над собой, то есть выполнено условие
для всех и
.
Пример 1. Пусть — кольцо, и
. Тогда
— правый идеал в
. Такой идеал называется главным правым идеалом8) кольца.
Определение 2. Правый идеал кольца
называется собственным9), если
.
Определение 3. Правый идеал кольца
называется максимальным10), если он не совпадает с кольцом и не содержится ни в каком собственном правом идеале
, то есть
.
Определение 4. Правый идеал кольца
называется регулярным11), или модулярным12), если существует такой элемент
, что
для всех
.
Пример 2. В любом ассоциативном кольце с единицей каждый его правый идеал
является регулярным, так как
.
Определение 5. Если — правый идеал в
, то положим
.
Предложение 1. Если — регулярный правый идеал кольца
, то
можно вложить в максимальный правый идеал, который также регулярен.
Предложение 2. Пусть — максимальный правый идеал в
. Предположим, что он регулярен и
– соответствующий ему неприводимый правый модуль. Тогда аннулятор
модуля
совпадает с
и является наибольшим двусторонним идеалом
, лежащим в
.
Двусторонний идеал
Определение 1. Подмножество кольца
называется двусторонним идеалом, или просто идеалом13), если
является одновременно левым и правым идеалом кольца
. В коммутативном кольце любой идеал, то есть левый, правый или двусторонний, называют просто идеалом, так как в коммутативных кольцах эти понятия совпадают.
Определение 2. Идеал кольца
называется собственным14), если
.
Пример 1. Любой идеал в коммутативном кольце двусторонний.
Определение 3. Идеал кольца
называется максимальным15), если он не совпадает с кольцом и не содержится ни в каком собственном идеале
, то есть
.