Содержание

Идеал кольца

Идеал кольца

Левый идеал

Определение 1. Подмножество $\rho$ кольца $R$ называется левым идеалом¹⁾, если $(\rho,+)$ является подгруппой $(R,+)$ и $\rho$ является подмодулем $R$ , рассматриваемого как левый модуль над собой, то есть выполнено условие

$ar\in\rho$ для всех $a\in R$ и $r\in\rho$ .

Пример 1. Пусть $R$ — кольцо, и $a\in R$ . Тогда $Ra=\{r\cdot a|r\in R\}$ — левый идеал в $R$ . Такой идеал называется главным левым идеалом²⁾ кольца.

Определение 2. Левый идеал $\rho$ кольца $R$ называется собственным³⁾, если $0\subsetneqq\rho\subsetneqq R$ .

Определение 3. Левый идеал $\rho$ кольца $R$ называется максимальным⁴⁾, если он не совпадает с кольцом и не содержится ни в каком собственном левом идеале $\alpha$ , то есть $\nexists\alpha:\rho\subsetneqq\alpha\subsetneqq R$ .

Определение 4. Левый идеал $\rho$ кольца $R$ называется регулярным⁵⁾, или модулярным⁶⁾, если существует такой элемент $a\in R$ , что $x-xa\in\rho$ для всех $x\in R$ .

Пример 2. В любом ассоциативном кольце с единицей $R$ каждый его левый идеал $\rho$ является регулярным, так как $x-x\cdot 1=0\in\rho$ .

Определение 5. Если $\rho$ — левый идеал в $R$ , то объект $(\rho:R)=\{x\in R\vert xR\subseteq\rho\}$ называется частным.

Предложение 1. Если $\rho$ — регулярный левый идеал кольца $R$ , то $\rho$ можно вложить в максимальный левый идеал, который также регулярен.

Предложение 2. Пусть $\rho$ — максимальный левый идеал в $R$ . Предположим, что он регулярен и $M=R/\rho$ – соответствующий ему неприводимый левый модуль. Тогда аннулятор $A(M)$ модуля $M$ совпадает с $(\rho:R)$ и является наибольшим двусторонним идеалом $R$ , лежащим в $\rho$ .

Правый идеал

Определение 1. Подмножество $\rho$ кольца $R$ называется правым идеалом⁷⁾, если $(\rho,+)$ является подгруппой $(R,+)$ и $\rho$ является подмодулем $R$ , рассматриваемого как правый модуль над собой, то есть выполнено условие

$ra\in\rho$ для всех и $r\in\rho$ .

Пример 1. Пусть $R$ — кольцо, и $a\in R$ . Тогда $aR=\{a\cdot r|r\in R\}$ — правый идеал в $R$ . Такой идеал называется главным правым идеалом⁸⁾ кольца.

Определение 2. Правый идеал $\rho$ кольца $R$ называется собственным⁹⁾, если $0\subsetneqq\rho\subsetneqq R$ .

Определение 3. Правый идеал $\rho$ кольца $R$ называется максимальным¹⁰⁾, если он не совпадает с кольцом и не содержится ни в каком собственном правом идеале $\alpha$ , то есть $\nexists\alpha:\rho\subsetneqq\alpha\subsetneqq R$ .

Определение 4. Правый идеал $\rho$ кольца $R$ называется регулярным¹¹⁾, или модулярным¹²⁾, если существует такой элемент $a\in R$ , что $x-ax\in\rho$ для всех $x\in R$ .

Пример 2. В любом ассоциативном кольце с единицей $R$ каждый его правый идеал $\rho$ является регулярным, так как $x-1\cdot x=0\in\rho$ .

Определение 5. Если $\rho$ — правый идеал в $R$ , то положим $(\rho:R)=\{x\in R\vert Rx\subseteq\rho\}$ .

Предложение 1. Если $\rho$ — регулярный правый идеал кольца $R$ , то $\rho$ можно вложить в максимальный правый идеал, который также регулярен.

Предложение 2. Пусть $\rho$ — максимальный правый идеал в $R$ . Предположим, что он регулярен и $M=R/\rho$ – соответствующий ему неприводимый правый модуль. Тогда аннулятор $A(M)$ модуля $M$ совпадает с $(\rho:R)$ и является наибольшим двусторонним идеалом $R$ , лежащим в $\rho$ .

Двусторонний идеал

Определение 1. Подмножество $\rho$ кольца $R$ называется двусторонним идеалом, или просто идеалом¹³⁾, если $\rho$ является одновременно левым и правым идеалом кольца $R$ . В коммутативном кольце любой идеал, то есть левый, правый или двусторонний, называют просто идеалом, так как в коммутативных кольцах эти понятия совпадают.

Определение 2. Идеал $\rho$ кольца $R$ называется собственным¹⁴⁾, если $0\subsetneqq\rho\subsetneqq R$ .

Пример 1. Любой идеал в коммутативном кольце двусторонний.

Определение 3. Идеал $\rho$ кольца $R$ называется максимальным¹⁵⁾, если он не совпадает с кольцом и не содержится ни в каком собственном идеале $\alpha$ , то есть $\nexists\alpha:\rho\subsetneqq\alpha\subsetneqq R$ .

См. также

Идеал в коммутативном кольце

Литература

абстрактная алгебра, ассоциативное кольцо, главный левый идеал, двусторонний идеал, идеал, кольцо, левый идеал, максимальный идеал, модулярный идеал, правый идеал, регулярный идеал, собственный идеал

¹⁾

left ideal

²⁾

principal left ideal

³⁾ , ⁹⁾ , ¹⁴⁾

proper ideal

⁴⁾ , ¹⁰⁾ , ¹⁵⁾

maximal ideal

⁵⁾ , ¹¹⁾

regular ideal

⁶⁾ , ¹²⁾

modular ideal

⁷⁾

right ideal

⁸⁾

principal right ideal

¹³⁾

ideal

glossary/ring/ideal.txt · Последние изменения: 09.10.2011 12:25:55 — Ладилова Анна

Наверх