Идеал в коммутативном кольце

Пусть — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.

Определение 1. Подмножество кольца называется идеалом¹⁾, если — подгруппа в и выполнено условие

Замечание 1. Данное определение совпадает с определением левого идеала произвольного кольца. Вообще в коммутативных кольцах понятия левого и правого идеалов совпадают, поэтому они называются просто идеалами.

Определение 2. Идеал кольца называется собственным²⁾, если .

Пример 1. является идеалом в любом кольце.

Пример 2. Множество целых чисел, делящихся на , является идеалом в кольце целых чисел .

Определение 3. Суммой идеалов и кольца называется наименьший идеал, содержащий и , то есть множество

Пример 3. Сумма идеалов и в равна НОД.

Определение 4. Произведением идеалов и кольца называется множество

Пример 4. Произведение идеалов и в равно .

Определение 5. Частным идеалов и кольца называется множество

Определение 6. Частное называется аннулятором кольца .

Предложение 1. Пересечение любого семейства идеалов является идеалом.

Пример 5. Пересечение идеалов и в равно НОК.

Предложение 2. Для любых идеалов и в имеет место включение

• Идеал кольца

• Атья М., Макдональд И. «Введение в коммутативную алгебру», Факториал, 2003.
• Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.