Факторгруппа
проверено
Смежные классы
Пусть — группа и — ее подгруппа и — произвольный элемент.
Определение 1. Подмножество в вида называется левым смежным классом1) группы по подгруппе .
Определение 2. Подмножество в вида называется правым смежным классом2) группы по подгруппе .
Определение 3. Любой элемент из левого (правого) смежного класса группы по подгруппе называется представителем смежного класса3) ().
Предложение 1. Любые два смежных класса группы по подгруппе либо совпадают, либо не имеют общих элементов. Левые (правые) смежные классы образуют разбиение группы .
Отношения эквивалентности, соответствующие данным разбиениям4) записываются так:
- для левых смежных классов: тогда и только тогда, когда ;
- для правых смежных классов: тогда и только тогда, когда .
Соответственно, левые (правые) смежные классы являются классами эквивалентности по данному отношению.
Индекс подгруппы
Предложение 2. Число левых смежных классов группы по подгруппе равно числу правых смежных классов по этой же подгруппе.
Определение 4. Индексом5) подгруппы в называется число левых смежных классов группы по . Индекс обозначается символом .
Определение 5. Индекс тривиальной подгруппы называется порядком6) группы . При этом используют обозначения или .
Замечание 1. Индекс конечной группы — это количество ее элементов.
Предложение 3. (Теорема Лагранжа.) Пусть — подгруппа группы тогда . Если два из этих индексов конечны, то конечен и третий и имеет место написанное равенство. Если порядок конечен, то он делится на .
Определение факторгруппы
Предложение 4. Пусть подгруппа нормальна в . Тогда множество левых смежных классов группы по подгруппе является группой с операцией .
Определение 6. Группа смежных классов группы по нормальной подгруппе называется факторгруппой7) и обозначается .
Каноническая проекция множества на фактормножество в этом случае является гомоморфизмом групп.
Пример 1. Рассмотрим аддитивную группу целых чисел и ее нормальную8) подгруппу . Тогда факторгруппа обозначается и называется группой классов вычетов9) по модулю .
Пример 2. Факторгруппа симметрической группы по знакопеременной группе является группой .