Факторгруппа

проверено

Смежные классы

Пусть $(G,\cdot)$группа и $(H,\cdot)$ — ее подгруппа и $a\in G$ — произвольный элемент.

Определение 1. Подмножество в $G$ вида $aH=\{a\cdot h\vert h\in H\}$ называется левым смежным классом1) группы $G$ по подгруппе $H$.

Определение 2. Подмножество в $G$ вида $Ha=\{h\cdot a\vert h\in H\}$ называется правым смежным классом2) группы $G$ по подгруппе $H$.

Определение 3. Любой элемент из левого (правого) смежного класса группы $G$ по подгруппе $H$ называется представителем смежного класса3) $aH$ ($Ha$).

Предложение 1. Любые два смежных класса группы $G$ по подгруппе $H$ либо совпадают, либо не имеют общих элементов. Левые (правые) смежные классы образуют разбиение группы $G$.

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

Пусть некоторый элемент $g$ принадлежит двум смежным классам $a_1H$ и $a_2H$. Это означает, что $g=a_1h_1=a_2h_2$ для некоторых $h_1,h_2\in H$. Тогда $a_1=a_2h_2h_1^{-1}$, и произвольный элемент $a_1h\in a_1H$ можно представить в виде $a_1h=a_2h_2h_1^{-1}h=a_2h'$, где $h'=h_2h_1^{-1}h$, то есть $a_1h\in a_2H$. Таким образом, справедливо включение $a_1H\subseteq a_2H$. Аналогично можно показать, что $a_2H\subseteq a_1H$. Значит, имеет место равенство $a_1H=a_2H$.

Так как любой элемент $a$ содержится в смежном классе $aH$, то $G=\underset{a}{\bigcup}aH$.

Таким образом, $G$ состоит из объединения непересекающихся смежных классов.

Отношения эквивалентности, соответствующие данным разбиениям4) записываются так:

  • для левых смежных классов: $g_1\sim g_2$ тогда и только тогда, когда $g_1^{-1}\cdot g_2\in H$;
  • для правых смежных классов: $g_1\sim g_2$ тогда и только тогда, когда $g_1\cdot g_2^{-1}\in H$.

Соответственно, левые (правые) смежные классы являются классами эквивалентности по данному отношению.

Индекс подгруппы

Предложение 2. Число левых смежных классов группы $G$ по подгруппе $H$ равно числу правых смежных классов $G$ по этой же подгруппе.

Определение 4. Индексом5) подгруппы $H$ в $G$ называется число левых смежных классов группы $G$ по $H$. Индекс обозначается символом $(G:H)$.

Определение 5. Индекс тривиальной подгруппы называется порядком6) группы $G$. При этом используют обозначения $(G:e)$ или $\textrm{ord}\,G$.

Замечание 1. Индекс конечной группы — это количество ее элементов.

Предложение 3. (Теорема Лагранжа.) Пусть $H$ — подгруппа группы $G$ тогда $(G:H)(H:e)=(G:e)$. Если два из этих индексов конечны, то конечен и третий и имеет место написанное равенство. Если порядок $(G:e)$ конечен, то он делится на $(H:e)$.

Определение факторгруппы

Предложение 4. Пусть подгруппа $H$ нормальна в $G$. Тогда множество левых смежных классов группы $G$ по подгруппе $H$ является группой с операцией $g_1H\cdot g_2H=(g_1\cdot g_2)H$.

Определение 6. Группа смежных классов группы $G$ по нормальной подгруппе $H$ называется факторгруппой7) и обозначается $G/H$.

Каноническая проекция множества $G$ на фактормножество $G/H$ в этом случае является гомоморфизмом групп.

Пример 1. Рассмотрим аддитивную группу целых чисел $\mathbb{Z}$ и ее нормальную8) подгруппу $n\mathbb{Z}=\{nm\vert m\in\mathbb{Z}\}$. Тогда факторгруппа $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ обозначается $\mathbb{Z}_n$ и называется группой классов вычетов9) по модулю $n$.

Пример 2. Факторгруппа симметрической группы $S_n$ по знакопеременной группе $A_n$ является группой $\mathbb{Z}_2$.

Литература

1) left coset
2) right coset
3) coset representative
5) index
6) order
7) factor group
9) group of prime residue classes
glossary/group/factor.txt · Последние изменения: 15.02.2014 15:43:19 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0