Группа

Определение группы

Определение 1. Пара $(G,\cdot)$, сосотящая из множества $G$ и бинарной алгебраической операции $\cdot$, называется группой1), если:

  1. основная операция ассоциативна, $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z)$ для любых $x,y,z\in G$;
  2. существует единичный элемент $e\in G$ такой, что $e\cdot x=x\cdot e=x$ для любого $x\in G$;
  3. для каждого элемента $x\in G$ существует обратный $x^{-1}\in G$ такой, что $x^{-1}\cdot x=x\cdot x^{-1}=e$.

Или, более кратко,

Определение 1'. Группа — это моноид, в котором каждый элемент обладает обратным.

Пример 1. Множество $\textrm{Aut}(A)$ автоморфизмов объекта $A$ некоторой категории $\mathcal{A}$ с умножением — композицией морфизмов является группой.

Пример 2. В моноиде $\textrm{Hom}(X,X)$, состоящем из всех отображений множества $X$ в себя2), рассмотрим подмножество $S(X)$ всех взаимно однозначных отображений. Тогда $S(X)$ является группой, которая называется группой перестановок множества3) $X$.

Пример 3. Симметрическая группа $S_n$ порядка $n$ при $n>2$ является примером некоммутативной группы4).

Абелева группа

Определение 2. Группа, в которой основная операция коммутативна, то есть

  • $x\cdot y=y\cdot x$ для любых $x,y\in G$,

называется коммутативной5) или абелевой группой6).

Обычно операцию в абелевой группе записывают аддитивно.

Пример 4. Множество целых чисел $\mathbb{Z}$ с операцией сложения $+$ является абелевой группой.

Пример 5. Множество отличных от нуля действительных чисел $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ с операцией умножения $\cdot$ является абелевой группой.

Пример 6. Циклическая группа конечного или бесконечного порядка является абелевой группой.

Подгруппа

Определение 3. Подмножество $H$ группы $G$ называется подгруппой7), если оно:

  1. содержит единицу группы $G$: $e\in H$;
  2. замкнуто относительно взятия обратного элемента: $x^{-1}\in H$ для любого $x\in H$.

Пример 7. Подмножество $n\mathbb{Z}=\{nm\vert m\in\mathbb{Z}\}$ является подгруппой в $\mathbb{Z}$ для любого $n\in\mathbb{N}$.

Пример 8. Знакопеременная группа $A_n$ является подгруппой симметрической группы $S_n$ порядка $n$.

Предложение 1. Чтобы подмножество $H\subseteq G$ являлось подгруппой группы $G$ необходимо и достаточно, чтобы $\forall x\in H$ $\forall y\in H$: $x\cdot y^{-1}\in H$.

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

Пусть $H\subseteq G$ — подгруппа, тогда если $y\in H$, то $y^{-1}\in H$ и $x\cdot y^{-1}\in H$.

Обратно, пусть $x\cdot y^{-1}\in H$ для всех $x,y\in H$. Тогда

  1. $e=x\cdot x^{-1}\in H$ для некоторого $x\in H$;
  2. $x^{-1}=e\cdot x^{-1}\in H$ для любого $x\in H$;
  3. $x\cdot y=x\cdot(y^{-1})^{-1}\in H$ для любых $x,y\in H$.

Предложение 2. Пусть $H$ и $K$ — подгруппы группы $G$. Тогда пересечение $H\cap K$ является подгруппой $G$.

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

Пусть $x,y\in H\cap K$, то есть $x,y\in H$ и $x,y\in K$. Согласно предложению 1, $x\cdot y^{-1}\in H$ и $x\cdot y^{-1}\in K$, то есть $x\cdot y^{-1}\in H\cap K$, а значит, $H\cap K$ — подгруппа в $G$.

Определение 4. Подгруппа $H\subseteq G$ называется нормальной8) и записывается $H\triangleleft G$, если она инвариантна относительно действия внутренних автоморфизмов, то есть

$x\cdot h\cdot x^{-1}\in H$ для всех $h\in H$ и всех $x\in G$.

Предложение 3. В абелевой группе любая подгруппа нормальна.

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

Пусть $G$ — абелева группа с операцией $+$ и $H$ — ее подгруппа. Для любых $x\in G$ и $h\in H$ в силу свойства коммутативности получаем, что

$x+h+(-x)=x+(-x)+h=0+h=h\in H$.

Пример 9. Знакопеременная группа $A_n$ нормальна в $S_n$. Это следует из того, что четности подстановок $\pi$ и $\tau\pi\tau^{-1}$ равны9) для произвольных $\pi,\tau\in S_n$.

Определение 5. Подгруппа $H\subseteq G$ называется собственной10), если:

  1. $H\neq\{e\}$;
  2. $H\neq G$.

Определение 6. Если подгруппа $H=\{e\}$, то $H$ называется тривиальной подгруппой11).

См. также

Литература

1) group
3) group of permutations of set
5) commutative group
6) Abelian group
7) subgroup
8) normal subgroup
10) proper subgroup
11) trivial
glossary/group.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:05:55 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0