Содержание

Группа подстановок

Группа подстановок

проверено

Симметрическая группа

Предложение 1. Множество всех подстановок порядка $n$ с операцией умножения подстановок образуют группу $S_n$ . Единичным элементом группы является подстановка $e=\begin{pmatrix}1 & 2 & \ldots & n\\ 1 & 2 & \ldots & n\end{pmatrix}$ , обратной подстановкой для $\pi=\begin{pmatrix}i_1 & i_2 & \ldots & i_n\\ j_1 & j_2 & \ldots & j_n\end{pmatrix}$ является $\pi^{-1}=\begin{pmatrix}j_1 & j_2 & \ldots & j_n\\ i_1 & i_2 & \ldots & i_n\end{pmatrix}$ . Порядок этой группы равен $n!$ .

Заметим, что при $n>2$ группа $S_n$ не коммутативна.

Пример 1. Группа $S_3$ состоит из шести элементов: $e=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix}$ . Эта группа не коммутативна: произведение $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2\end{pmatrix}$ равно $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3\end{pmatrix}$ , что отлично от $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1\end{pmatrix}$ .

Определение 1. Группа $S_n$ называется симметрической группой¹⁾ порядка $n$ .

Теорема 1.(Теорема Кэли) Любая конечная группа порядка $n$ изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы $S_n$ .

Знакопеременная группа

Предложение 2. Множество всех четных подстановок образуют подгруппу $A_n$ группы $S_n$ . Порядок группы $A_n$ равен $\frac{1}{2}n!$ .

Определение 2. Группа $A_n$ всех четных подстановок называется знакопеременной группой²⁾ порядка $n$ .

Пример 2. Подгруппа $A_3$ симметрической группы $S_3$ состоит из трех подстановок $e=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1\end{pmatrix}$ , $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2\end{pmatrix}$ .

Литература

абстрактная алгебра, группа, декремент, знак подстановки, знакопеременная группа, перестановка, подстановка, симметрическая группа, теорема кэли, четность подстановки

¹⁾

symmetric group

²⁾

alternating group

glossary/group/symmetric.txt · Последние изменения: 02.11.2014 17:22:49 — Ладилова Анна

Наверх