Группа подстановок
проверено
Симметрическая группа
Предложение 1. Множество всех подстановок порядка с операцией умножения подстановок образуют группу
. Единичным элементом группы является подстановка
, обратной подстановкой для
является
. Порядок этой группы равен
.
Заметим, что при группа
не коммутативна.
Пример 1. Группа состоит из шести элементов:
,
,
,
,
,
. Эта группа не коммутативна: произведение
равно
, что отлично от
.
Определение 1. Группа называется симметрической группой1) порядка
.
Теорема 1.(Теорема Кэли) Любая конечная группа порядка изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы
.
Знакопеременная группа
Предложение 2. Множество всех четных подстановок образуют подгруппу группы
. Порядок группы
равен
.
Определение 2. Группа всех четных подстановок называется знакопеременной группой2) порядка
.
Пример 2. Подгруппа симметрической группы
состоит из трех подстановок
,
,
.