Обратный элемент

Левый и правый обратный

Пусть задана полугруппа $(X,\ast)$.

Определение 1. Элемент $x'\in X$ называется левым обратным1) к элементу $x\in X$, если выполнено условие $x'\ast x=e$, где $e\in X$левая единица.

Определение 2. Элемент $x'\in X$ называется правым обратным2) к элементу $x\in X$, если выполнено условие $x\ast x'=e$, где $e\in X$правая единица.

Определение обратного элемента

Пусть $(X,\ast)$моноид.

Определение 3. Элемент $x'\in X$ называется обратным3) к элементу $x\in X$, если он одновременно левый обратный и правый обратный, то есть $x'\ast x=x\ast x'=e$, где $e\in X$единица. Элемент $x$ при этом называют обратимым4).

Если операция $\ast$ мультипликативна, то элемент обратный к $x$ обычно обозначают символом $x^{-1}$.

Пример 1. Обратным элементом для $\dfrac{m}{n}$ в поле рациональных чисел $\mathbb{Q}$ является $\dfrac{n}{m}$.

Если операция $\ast$ аддитивна, то элемент обратный к $x$ обычно обозначают символом $-x$ и называют противоположным5).

Пример 2. Противоположным элементом для $n$ в абелевой группе целых чисел $\mathbb{Z}$ является $-n$.

Предложение 1. Пусть $S$ — полугруппа, в которой существует левая единица $e$. Предположим, что у каждого элемента есть левый обратный. Тогда $e$ — единица и всякий левый обратный является также обратным, то есть $S$группа.

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

Для произвольного $x\in S$ по условию $ex=x$ и для каждого $x\in S$ найдется элемент $x'$ такой, что $x'\ast x=e$. Для $x'$ также найдется элемент $x''$, чтобы $x''\ast x'=e$. Тогда запишем цепочку равенств

$x\ast e=e\ast(x\ast e)=(e\ast x)\ast e=((x''\ast x')\ast x)\ast e=(x''\ast(x'\ast x))\ast e=$$(x''\ast e)\ast e=x''\ast(e\ast e)=x''\ast e=x''\ast(x'\ast x)=(x''\ast x')\ast x=e\ast x=x$.

Таким образом, $e$ — правая единица, а значит, единица. Теперь

$x\ast x'=e\ast(x\ast x')=(e\ast x)\ast x'=((x''\ast x')\ast x)\ast x'=$$(x''\ast(x'\ast x))\ast x'=(x''\ast e)\ast x'=x''\ast x'=e$.

Таким образом, $x'$ — правый обратный, а значит, обратный.

Предложение 2. Если в моноиде $(X,\ast)$ для элемента $x$ существует обратный, то он единственный, то есть если $x'\ast x=x\ast x'=e=x''\ast x=x\ast x''$, то $x'=x''$.

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

Действительно, из соотношений $x\ast x''=e$ и $x'\ast x=e$ следует, что

$x'=x'\ast e=x'\ast (x\ast x'')=(x'\ast x)\ast x''=e\ast x''=x''$.

Литература

1) left-inverse element
2) right-inverse element
3) inverse element
4) invertible
5) opposite
glossary/element/semigroup/inverse.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:02:56 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0