Обратный элемент

Пусть задана полугруппа .

Определение 1. Элемент называется левым обратным¹⁾ к элементу , если выполнено условие , где — левая единица.

Определение 2. Элемент называется правым обратным²⁾ к элементу , если выполнено условие , где — правая единица.

Пусть — моноид.

Определение 3. Элемент называется обратным³⁾ к элементу , если он одновременно левый обратный и правый обратный, то есть , где — единица. Элемент при этом называют обратимым⁴⁾.

Если операция мультипликативна, то элемент обратный к обычно обозначают символом .

Пример 1. Обратным элементом для в поле рациональных чисел является .

Если операция аддитивна, то элемент обратный к обычно обозначают символом и называют противоположным⁵⁾.

Пример 2. Противоположным элементом для в абелевой группе целых чисел является .

Предложение 1. Пусть — полугруппа, в которой существует левая единица . Предположим, что у каждого элемента есть левый обратный. Тогда — единица и всякий левый обратный является также обратным, то есть — группа.

Предложение 2. Если в моноиде для элемента существует обратный, то он единственный, то есть если , то .

• Кострикин А.И. «Введение в алгебру. Основы алгебры», МЦНМО, 2012.
• Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.