Содержание
Кольцо Ли
Описание
Определение 1. Кольцом Ли1) будем называть кольцо, в котором операция умножения антикоммутативна и удовлетворяет тождеству Якоби. Иными словами, операции сложения
и умножения
кольца Ли удовлетворяют следующим аксиомам:
- дистрибутивность:
для всех
;
для всех
;
для всех
;
- тождество Якоби:
для всех
.
Замечание 1. Из условия следует условие антикоммутативности:
для всех
.
Более того, если в абелевой группе кольца нет элементов порядка 2, то условие эквивалентно условию
.
Пример 1. Пусть — произвольное ассоциативное кольцо. Зададим на
новую операцию умножения
, тогда
— кольцо Ли.
Пример 2. Алгебра Ли над кольцом
является кольцом Ли с дополнительной структурой левого
-модуля.
Предложение 1. Для каждого кольца Ли <latex>R</latex> существует такое ассоциативное кольцо <latex>A</latex>, что <latex>R</latex> изоморфно подкольцу <latex>A</latex> с операцией умножения <latex>[,]</latex>, определенной формулой <latex>[a,b]=a\cdot b-b\cdot a</latex>.
См. также
Литература
- Фейс К. «Алгебра: кольца, модули и категории. Т.1», Мир, 1977.
- Холл М. «Теория групп», Иностранная литература, 1962.