Гомоморфизм колец

Определение

Определение 1. Пусть даны произвольные кольца $(A,+_A,\cdot_A)$ и $(B,+_B,\cdot_B)$. Отображение $\varphi:A\rightarrow B$ называется гомоморфизмом колец1), если:

  1. $\varphi(x\cdot_Ay)=\varphi(x)\cdot_B\varphi(y)$ для $\forall x,y\in A$;
  2. если кольца $ A $ и $ B $ обладают единицей, то $\varphi(1_A)=1_B$.

Определение 2. Гомоморфизм колец $\varphi:G\rightarrow H$ называется мономорфизмом колец2), если отображение $\varphi$ инъективно.

Определение 3. Гомоморфизм колец $\varphi:G\rightarrow H$ называется эпиморфизмом колец3), если отображение $\varphi$ сюръективно.

Определение 4. Гомоморфизм колец $\varphi:G\rightarrow H$ называется изоморфизмом колец4), если он является мономорфизмом и эпиморфизмом одновременно.

Определение 5. Ядром гомоморфизма колец $\varphi$ называется множество $\textrm{Ker}~\varphi=\{x\in A|\varphi(x)=0\}$.

Предложение 1. Ядро гомоморфизма колец $\varphi:A\rightarrow B$ является двусторонним идеалом кольца $A$.

Предложение 2. Гомоморфизм $\varphi:A\rightarrow B$ является мономорфизмом тогда и только тогда, когда $\textrm{ker}\varphi=\{0\}$.

Предложение 3. Гомоморфизм $\varphi:A\rightarrow B$ является эпиморфизмом тогда и только тогда, когда $\textrm{im}\varphi=B$.

Предложение 4. Гомоморфизм $\varphi:A\rightarrow B$ является изоморфизмом тогда и только тогда, когда существует гомоморфизм $\varphi^{-1}:B\rightarrow A$ такой, что $\varphi^{-1}\circ\varphi=\textrm{id}_A$ и $\varphi\circ\varphi^{-1}=\textrm{id}_B$.

Пример 1. Пусть $ I $ — двусторонний идеал кольца $ R $. Тогда каноническая проекция $\pi:R\rightarrow R/I$ является гомоморфизмом колец. Действительно,

  • $\pi(x+y)=(x+y)+I=(x+I)+(y+I)=\pi(x)+\pi(y)$,
  • $\pi(x\cdot y)=(x\cdot y)+I=(x+I)\cdot(y+I)=\pi(x)\cdot\pi(y)$,
  • если $ R $ содержит единицу $1_R$, то $\varphi(1)=1+I=1_{R/I}$.

Теоремы о гомоморфизмах

Основная теорема о гомоморфизме. Пусть $\varphi\colon A\rightarrow B$ — гомоморфизм колец с ядром $\textrm{ker}~\varphi=J$. Через $\pi\colon A\rightarrow A/J$ обозначим каноническую проекцию5). Тогда существует единственный гомоморфизм колец $\varphi_*\colon A/J\rightarrow B$, инъективный и такой, что $\varphi=\varphi_*\circ\pi$, то есть делающий коммутативной диаграмму

$\begin{diagram}\node{A}\arrow{se,b}{\pi}\arrow[2]{e,t}{\varphi}\node[2]{B}\\\node[2]{A/B}\arrow{ne,b}{\varphi_*}\end{diagram}$.

Если $\varphi$ сюръективно, то $\varphi_*$ — изоморфизм.

Первая теорема об изоморфизме. Пусть $B$ — подкольцо в $A$, и $I$ — идеал в $A$. Тогда

  1. $B+I$ — подкольцо в $A$, содержащее $I$, причем $I$ — идеал в $B+I$;
  2. пересечение $B\cap I$ — идеал в $B$;
  3. отображение $\varphi\colon b+I\mapsto b+B\cap I$ является изоморфизмом факторколец $(B+I)/I\cong B/(B\cap I)$.

Теорема о соответствии. Пусть $\varphi\colon A\rightarrow B$ — эпиморфизм колец с ядром $\textrm{ker}~\varphi=J$. Тогда существует биекция между множеством подколец (левых, правых, двусторонних идеалов) в $A$, содержащих $J$, и множеством всех подколец (левых, правых, двусторонних идеалов) в $B$.

Теорема о сокращении. Пусть $I$ и $J$ — двусторонние идеалы в $A$, причем $I\subset J$. Тогда фактормножество $J/I$ является идеалом в $A/I$ и имеет место изоморфизм: $(A/I)/(J/I)\cong A/J$.

Литература

1) ring homomorphism
2) monomorphism
3) epimorphism
4) isomorphism
5) см. пример 1
glossary/morphism/ring.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:08:49 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0