Алгебраическое расширение поля

проверено

Алгебраические элементы

Определение 1. Пусть $F$подполе поля $E$. Элемент $\alpha\in E$ называется алгебраическим1) над $F$, если $\alpha$корень некоторого ненулевого многочлена $f(T)$ с коэффициентами из $F$, то есть выполнено условие

$a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\ldots+a_1\alpha+a_0=0$

для некоторых $a_0,a_1,\ldots,a_n$, не равных нулю одновременно.

Пример 1. Элемент $\sqrt{2}$ из поля комплексных чисел $\mathbb{C}$ — это алгебраический элемент над полем действительных чисел $\mathbb{R}$, так как он является корнем многочлена $T^2-2$ с коэффициентами из $\mathbb{R}$. Этот же элемент, очевидно, является алгебраическим и над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$.

Определение 2. Пусть $F$подполе поля $E$. Элементы поля $E$, не являющиеся алгебраическими над $F$, называются трансцендентными2).

В случае, когда $F=\mathbb{Q}$ и $E=\mathbb{C}$, говорят просто об алгебраических3) и трансцендентных числах4).

Пример 2. Число $\sqrt[3]{3}$ — алгебраическое, так как $(\sqrt[3]{3})^3-3=0$, а значит, $\sqrt[3]{3}$ является корнем многочлена с рациональными коэффициентами $T^3-3$.

Пример 3. Числа $e$ и $\pi$ — трансцендентные.5)

Неприводимый многочлен алгебраического элемента

Определение 3. Пусть $E$ — расширение поля $F$, и элемент $\alpha\in E$ алгебраический над $F$. Ненулевой многочлен $p(T)$ с коэффициентами из $F$ минимально возможной степени, удовлетворяющий условию $p(\alpha)=0$ и имеющий коэффициент при старшем члене, равный 1, называется неприводимым многочленом6) элемента $\alpha$ над $F$.

Предложение 1. Неприводимый многочлен алгебраического элемента $\alpha\in E$ над $F$ определен однозначно.

Алгебраическое расширение

Определение 4. Расширение $E$ поля $F$ называется алгебраическим7), если каждый его элемент алгебраичен над $F$. Расширение, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным8).

Пример 4. Поле $\mathbb{C}$ является алгебраическим расширением поля $\mathbb{R}$, так как любое комплексное число $a+bi$ является корнем многочлена $T^2-2aT+a^2+b^2$ с действительными коэффициентами.

Пример 5. Поле $\mathbb{C}$ — это трансцендентное расширение поля $\mathbb{Q}$, так как в $\mathbb{C}$ содержатся трансцендентные числа, которые не являются корнями многочленов с рациональными коэффициентами.

Предложение 2. Всякое конечное расширение $E$ поля $F$ алгебраично над $F$.

Литература

1) algebraic element
2) transcendental element
3) algebraic number
4) transcendental number
5) Это неочевидные утверждения, нуждающиеся в доказательствах.
6) irreducible polynomial of element
7) algebraic field extension
8) transcedental
glossary/field/extension/algebraic.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:01:49 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0