Содержание
Алгебраическое расширение поля
проверено
Алгебраические элементы
Определение 1. Пусть — подполе поля
. Элемент
называется алгебраическим1) над
, если
— корень некоторого ненулевого многочлена
с коэффициентами из
, то есть выполнено условие
для некоторых , не равных нулю одновременно.
Пример 1. Элемент из поля комплексных чисел
— это алгебраический элемент над полем действительных чисел
, так как он является корнем многочлена
с коэффициентами из
. Этот же элемент, очевидно, является алгебраическим и над полем рациональных чисел
.
Определение 2. Пусть — подполе поля
. Элементы поля
, не являющиеся алгебраическими над
, называются трансцендентными2).
В случае, когда и
, говорят просто об алгебраических3) и трансцендентных числах4).
Пример 2. Число — алгебраическое, так как
, а значит,
является корнем многочлена с рациональными коэффициентами
.
Пример 3. Числа и
— трансцендентные.5)
Неприводимый многочлен алгебраического элемента
Определение 3. Пусть — расширение поля
, и элемент
алгебраический над
. Ненулевой многочлен
с коэффициентами из
минимально возможной степени, удовлетворяющий условию
и имеющий коэффициент при старшем члене, равный 1, называется неприводимым многочленом6) элемента
над
.
Предложение 1. Неприводимый многочлен алгебраического элемента над
определен однозначно.
Алгебраическое расширение
Определение 4. Расширение поля
называется алгебраическим7), если каждый его элемент алгебраичен над
. Расширение, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным8).
Пример 4. Поле является алгебраическим расширением поля
, так как любое комплексное число
является корнем многочлена
с действительными коэффициентами.
Пример 5. Поле — это трансцендентное расширение поля
, так как в
содержатся трансцендентные числа, которые не являются корнями многочленов с рациональными коэффициентами.
Предложение 2. Всякое конечное расширение поля
алгебраично над
.