Корни многочлена
Значение многочлена
Пусть — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, содержащееся в коммутативном целостном кольце
, и
— кольцо многочленов от одной переменной.
Предложение 1. Для каждого элемента существует единственный гомоморфизм колец
такой, что
для всех
;
.
Определение 1. Результат применения отображения к многочлену
, то есть выражение
, называется значением многочлена1)
при
.
Пример 1. Пусть — многочлен над полем действительных чисел. Тогда его значение при
— это
.
Корень многочлена
Определение 2. Элемент называется корнем многочлена2)
из кольца многочленов
, если
.
Замечание 1. Операции сложения и умножения при вычислении выражения производятся в кольце
.
Пример 2. Рациональное число является корнем многочлена с целыми коэффициентами
.
Пример 3. Мнимая единица является корнем многочлена
.
Теорема Безу
Теорема 1.(Теорема Безу) Элемент является корнем многочлена
тогда и только тогда, когда
делит
в кольце
.