Непрерывное отображение

проверено

Определение

Рассмотрим отображение $f:X\rightarrow Y$ из топологического пространства $(X,\tau)$ в топологическое пространство $(Y,\omega)$.

Определение 1. Пусть $x\in X$ и $f(x)=y$. Говорят, что отображение $f:X\rightarrow Y$ непрерывно в точке1) $ x $, если для любой окрестности $V_y\in\omega$ точки $y\in Y$ существует такая окрестность $U_x\in\tau$ точки $ x $, что $f(U_x)\subseteq V_y$.

Определение 2. Говорят, что отображение $f:X\rightarrow Y$ непрерывно2) на $ X $, если оно непрерывно в каждой точке $ X $.

Пример 1. Пусть $(X,\rho)$метрическое пространство. Зафиксируем точку $a\in X$ и рассмотрим отображение $\rho_a:X\rightarrow\mathbb{R}:x\mapsto\rho(a,x)$. Если на $\mathbb{R}$ задана обычная топология, то $\rho_a$ — непрерывное отображение.

Пример 2. Пусть $(X,\rho)$ — метрическое пространство и $ A $ — подмножество $ X $. Тогда отображение $\rho_A:X\rightarrow\mathbb{R}:x\mapsto\underset{a\in A}{\inf}\rho(a,x)$ — непрерывно, если на $\mathbb{R}$ задана обычная топология.

Теорема 1. Пусть $(X,\tau)$ и $(Y,\omega)$ — топологические пространства. Тогда следующие условия эквивалентны:

  1. отображение $f:X\rightarrow Y$ непрерывно на $ X $;
  2. полный прообраз каждого открытого множества открыт: $(\forall V\subseteq Y):V\in\omega\Rightarrow f^{-1}(V)\in\tau$;
  3. полный прообраз каждого замкнутого множества замкнут: $(\forall G\subseteq Y):(Y\backslash G)\in\omega\Rightarrow X\backslash f^{-1}(G)\in\tau$;
  4. полный прообраз каждого множества $ V $ из базы топологии $\omega$ открыт в $ X $.

Предложение 1. Пусть $ X $, $ Y $ и $ Z $ — топологические пространства. Пусть, кроме того, отображения $f:X\rightarrow Y$ и $g:Y\rightarrow Z$ непрерывны. Тогда композиция $g\circ f:X\rightarrow Z$ является непрерывным отображением.

Предложение 2. Пусть $ X $ — топологическое пространство. Пусть, кроме того, $ A $подпространство в $ X $. Тогда отображение вложения $i:A\rightarrow X:a\mapsto a$ является непрерывным.

Предложение 3. Пусть $ X $ и $ Y $ — топологические пространства, а $f:X\rightarrow Y$ — непрерывное отображение. Пусть, кроме того, $ A $ — подпространство в $ X $. Тогда ограничение $f_{\vert A}:A\rightarrow Y:a\mapsto f(a)$ отображения $f:X\rightarrow Y$ является непрерывным.

Предложение 4. Пусть $ X $ и $ Y $ — топологические пространства, а $f:X\rightarrow Y$ — непрерывное отображение. Пусть, кроме того, $ A $ — подпространство в $ X $ и $B=f(A)$ — подпространство в $ Y $. Тогда отображение $f':A\rightarrow B:a\mapsto f(a)$ является непрерывным.

Литература

1) continuous at point
2) continuous mapping, continuous function
glossary/topology/mapping/continuous.txt · Последние изменения: 09.01.2011 17:49:26 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0