Содержание
Непрерывное отображение
проверено
Определение
Рассмотрим отображение из топологического пространства в топологическое пространство .
Определение 1. Пусть и . Говорят, что отображение непрерывно в точке1) , если для любой окрестности точки существует такая окрестность точки , что .
Определение 2. Говорят, что отображение непрерывно2) на , если оно непрерывно в каждой точке .
Пример 1. Пусть — метрическое пространство. Зафиксируем точку и рассмотрим отображение . Если на задана обычная топология, то — непрерывное отображение.
Пример 2. Пусть — метрическое пространство и — подмножество . Тогда отображение — непрерывно, если на задана обычная топология.
Теорема 1. Пусть и — топологические пространства. Тогда следующие условия эквивалентны:
- отображение непрерывно на ;
- полный прообраз каждого открытого множества открыт: ;
- полный прообраз каждого замкнутого множества замкнут: ;
- полный прообраз каждого множества из базы топологии открыт в .
Предложение 1. Пусть , и — топологические пространства. Пусть, кроме того, отображения и непрерывны. Тогда композиция является непрерывным отображением.
Предложение 2. Пусть — топологическое пространство. Пусть, кроме того, — подпространство в . Тогда отображение вложения является непрерывным.
Предложение 3. Пусть и — топологические пространства, а — непрерывное отображение. Пусть, кроме того, — подпространство в . Тогда ограничение отображения является непрерывным.
Предложение 4. Пусть и — топологические пространства, а — непрерывное отображение. Пусть, кроме того, — подпространство в и — подпространство в . Тогда отображение является непрерывным.
Литература
- Рохлин В.А., Фукс Д.Б. «Начальный курс топологии. Геометрические главы», Наука, 1977.
- Телеман К. «Элементы топологии и дифференцируемые многообразия», Мир, 1967.