Содержание
Непрерывное отображение
проверено
Определение
Рассмотрим отображение из топологического пространства
в топологическое пространство
.
Определение 1. Пусть и
. Говорят, что отображение
непрерывно в точке1)
, если для любой окрестности
точки
существует такая окрестность
точки
, что
.
Определение 2. Говорят, что отображение непрерывно2) на
, если оно непрерывно в каждой точке
.
Пример 1. Пусть — метрическое пространство. Зафиксируем точку
и рассмотрим отображение
. Если на
задана обычная топология, то
— непрерывное отображение.
Пример 2. Пусть — метрическое пространство и
— подмножество
. Тогда отображение
— непрерывно, если на
задана обычная топология.
Теорема 1. Пусть и
— топологические пространства. Тогда следующие условия эквивалентны:
- отображение
непрерывно на
;
- полный прообраз каждого открытого множества открыт:
;
- полный прообраз каждого замкнутого множества замкнут:
;
Предложение 1. Пусть ,
и
— топологические пространства. Пусть, кроме того, отображения
и
непрерывны. Тогда композиция
является непрерывным отображением.
Предложение 2. Пусть — топологическое пространство. Пусть, кроме того,
— подпространство в
. Тогда отображение вложения
является непрерывным.
Предложение 3. Пусть и
— топологические пространства, а
— непрерывное отображение. Пусть, кроме того,
— подпространство в
. Тогда ограничение
отображения
является непрерывным.
Предложение 4. Пусть и
— топологические пространства, а
— непрерывное отображение. Пусть, кроме того,
— подпространство в
и
— подпространство в
. Тогда отображение
является непрерывным.
Литература
- Рохлин В.А., Фукс Д.Б. «Начальный курс топологии. Геометрические главы», Наука, 1977.
- Телеман К. «Элементы топологии и дифференцируемые многообразия», Мир, 1967.