Метрическое пространство

Метрика на множестве

Определение 1. Пусть $M$ — произвольное множество, $\rho:M\times M\rightarrow\mathbb{R}$функция, удовлетворяющая следующим условиям:

  1. положительная определенность:
    $\rho(x,y)\geqslant 0$ для всех $x, y\in M$, причем $\rho(x,y)=0$ тогда и только тогда, когда $x=y$;<latex>(\forall x\in M)(\forall y\in M):\rho(x,y)\geqslant 0\wedge(\rho(x,y)=0\Leftrightarrow x=y)</latex>;
  2. симметричность:
    $\rho(x,y)=\rho(y,x)$ для всех $x, y\in M$;<latex>(\forall x\in M)(\forall y\in M):\rho(x,y)=\rho(y,x)</latex>;
  3. неравенство треугольника:
    $\rho(x,y)\leqslant\rho(x,z)+\rho(z,y)$ для всех $x,y,z\in M$.<latex>(\forall x\in M)(\forall y\in M)(\forall z\in M):\rho(x,y)\leqslant\rho(x,z)+\rho(z,y)</latex>.

Тогда пара $(M,\rho)$ называется метрическим пространством1), а функция $\rho$метрикой2), или функцией расстояния3). Число $\rho(x,y)$ называется расстоянием4) между точками $x$ и $y$.

Метрическая топология

Определение 2. Открытым шаром5) в метрическом пространстве $(M,\rho)$ радиуса $\varepsilon>0$ с центром в точке $a\in M$ называется множество $D_\varepsilon(a)=\{x\in M\vert\rho(x,a)<\varepsilon\}$.

Теорема 1. Пусть $(M,\rho)$ — произвольное метрическое пространство. Тогда семейство $\sigma_\rho=\{D_\varepsilon(a)\vert a\in M,\varepsilon>0\}$ образует базу некоторой топологии на $M$. Эта топология называется метрической6) и обозначается $\tau_\rho$.

Пример 1. Пусть $M=\mathbb{R}^n$. Тогда функция $\rho_U(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}$ определяет метрику на $\mathbb{R}^n$. Таким образом, $(\mathbb{R}^n,\rho_U)$ — метрическое пространство, а базу топологии на $\mathbb{R}^n$ задает множество открытых шаров $\{D_\varepsilon(x)\vert x\in\mathbb{R}^n,\varepsilon>0\}$.

Определение 3. Топологическое пространство $(X,\tau)$ называется метризуемым7), если на нем можно ввести метрику $\rho$, такую что $\tau=\tau_\rho$. В противном случае $(X,\tau)$не метризуемое8).

Пример 2. Пусть $X$ — произвольное множество и $\rho_D(x,y)=\begin{cases}0, & x=y\\ 1, & x\neq y\end{cases}$. Тогда $(X,\rho_D)$ является метрическим пространством, причем метрическая топология $\tau_{\rho_D}$ совпадает с дискретной топологией $\tau_D$ на $ X $. Таким образом, $(X,\tau_D)$ — метризуемое топологическое пространство.

Литература

1) metric domain, metric space
2) metric
3) distance function
4) distance
5) open ball
6) metric topology
7) metrizable space
8) nonmetrizable space
glossary/topology/metric.txt · Последние изменения: 08.10.2013 21:33:49 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0