Метрическое пространство
Метрика на множестве
Определение 1. Пусть — произвольное множество,
— функция, удовлетворяющая следующим условиям:
- положительная определенность:
для всех
, причем
тогда и только тогда, когда
;<latex>(\forall x\in M)(\forall y\in M):\rho(x,y)\geqslant 0\wedge(\rho(x,y)=0\Leftrightarrow x=y)</latex>;
- симметричность:
для всех
;<latex>(\forall x\in M)(\forall y\in M):\rho(x,y)=\rho(y,x)</latex>;
- неравенство треугольника:
для всех
.<latex>(\forall x\in M)(\forall y\in M)(\forall z\in M):\rho(x,y)\leqslant\rho(x,z)+\rho(z,y)</latex>.
Тогда пара называется метрическим пространством1), а функция
— метрикой2), или функцией расстояния3). Число
называется расстоянием4) между точками
и
.
Метрическая топология
Определение 2. Открытым шаром5) в метрическом пространстве радиуса
с центром в точке
называется множество
.
Теорема 1. Пусть — произвольное метрическое пространство. Тогда семейство
образует базу некоторой топологии на
. Эта топология называется метрической6) и обозначается
.
Пример 1. Пусть . Тогда функция
определяет метрику на
. Таким образом,
— метрическое пространство, а базу топологии на
задает множество открытых шаров
.
Определение 3. Топологическое пространство называется метризуемым7), если на нем можно ввести метрику
, такую что
. В противном случае
— не метризуемое8).
Пример 2. Пусть — произвольное множество и
. Тогда
является метрическим пространством, причем метрическая топология
совпадает с дискретной топологией
на
. Таким образом,
— метризуемое топологическое пространство.
Литература
- Рохлин В.А., Фукс Д.Б. «Начальный курс топологии. Геометрические главы», Наука, 1977.
- Телеман К. «Элементы топологии и дифференцируемые многообразия», Мир, 1967.