Содержание
База топологии
Описание
Определение 1. Пусть — топологическое пространство. Семейство подмножеств
называется базой топологии1)
, если:
Пример 1. Рассмотрим топологическое пространство с обычной топологией. Множество
образует базу топологии
.
Определение 2. База топологии
называется минимальной2), если она содержится в любой другой базе
топологии
.
Пример 2. Рассмотрим произвольное топологическое пространство с дискретной топологией. Все одноточечные множества
образуют базу топологии
. Очевидно, что
— минимальная база топологии
.
Теорема 1. Пусть — топологическое пространство и
. Тогда
является базой топологии
, если и только если
.
Теорема 2. Пусть — произвольное множество и
— некоторое семейство подмножеств
. Тогда существует топология
с базой
, если и только если:
;
- для любых элементов
из семейства
и каждой точки
найдется элемент
такой, что
,<latex>(\forall V\in\sigma)(\forall W\in\sigma)(\forall x\in V\cap W)(\exists U\in\sigma):x\in U\subseteq V\cap W</latex>.
Теорема 3. Если и
— топологические пространства и существует общая база
для топологии
и топологии
, то
.
Литература
- Рохлин В.А., Фукс Д.Б. «Начальный курс топологии. Геометрические главы», Наука, 1977.
- Телеман К. «Элементы топологии и дифференцируемые многообразия», Мир, 1967.