Содержание
Топологическое пространство
Топология на множестве
Определение 1. Пусть — некоторое непустое множество. Семейство подмножеств
называется топологией на множестве
1), а пара
называется топологическим пространством2), если
удовлетворяет следующим условиям:
;
- объединение произвольного семейства подмножеств
, входящих в
, снова принадлежит
:
;
- пересечение конечного семейства подмножеств
, входящих в
, снова принадлежит
:
.
Когда топология фиксирована, топологическое пространство
обычно обозначается одной буквой
.
Определение 2. Пусть — топологическое пространство. Подмножество
называется открытым3) в
или
-открытым, если оно принадлежит
. Подмножество
называется замкнутым4) в
, если его дополнение
— открыто в
.
Важные примеры
Пример 1. Пусть — произвольное множество. Семейство подмножеств
определяет топологию на
, называемую тривиальной топологией5).
Пример 2. Пусть — произвольное множество. Семейство подмножеств
определяет топологию на
, называемую дискретной топологией6).
Пример 3. Пусть ,
,
. Семейство подмножеств
определяет топологию на
, называемую обычной топологией7).
Пример 4. Пусть — произвольное множество и
— биекция. Рассмотрим
. Тогда
— топологическое пространство.
Пример 5. Пусть , тогда семейство подмножеств
— топология на
, называемая топологией связного двоеточия8).
Сравнение топологий
Определение 3. Пусть и
— топологические пространства. Говорят, что топология
слабее9), или грубее10) топологии
, если
. В этом случае также говорят, что
сильнее11), или тоньше12)
. Если
и
, то говорят, что топологии
и
несравнимы13).
Пример 6. Тривиальная топология слабее любой другой топологии на этом же множестве.
Пример 7. Дискретная топология сильнее любой другой топологии на этом же множестве.
Свойства
Теорема 1. Пусть — топологическое пространство и
. Рассмотрим совокупность всех замкнутых множеств
. Тогда имеют место следующие свойства:
;
- пересечение произвольного семейства замкнутых множеств замкнуто:
;
- объединение конечного семейства замкнутых множеств замкнуто:
.
Теорема 2. Пусть — произвольное множество,
— семейство подмножеств из
, удовлетворяющих условиям:
;
;
.
Тогда существует единственная топология на множестве
, такая что
— семейство всех замкнутых множеств в
.
См. также
Литература
- Рохлин В.А., Фукс Д.Б. «Начальный курс топологии. Геометрические главы», Наука, 1977.
- Телеман К. «Элементы топологии и дифференцируемые многообразия», Мир, 1967.