Топологическое пространство

Топология на множестве

Определение 1. Пусть $X$ — некоторое непустое множество. Семейство подмножеств $\tau=\{U_\alpha\subseteq X\vert\alpha\in\mathcal{A}\}$ называется топологией на множестве $ X $1), а пара $(X,\tau)$ называется топологическим пространством2), если $\tau$ удовлетворяет следующим условиям:

  1. $\varnothing,X\in\tau$;
  2. объединение произвольного семейства подмножеств $ X $, входящих в $\tau$, снова принадлежит $\tau$:
    $(\forall\mathcal{B}\subseteq\mathcal{A}):\underset{\beta\in\mathcal{B}}{\bigcup}U_\beta\in\tau$;
  3. пересечение конечного семейства подмножеств $ X $, входящих в $\tau$, снова принадлежит $\tau$:
    $(\forall U_\alpha\in\tau)(\forall U_\beta\in\tau):U_\alpha\bigcap U_\beta\in\tau$.

Когда топология $\tau$ фиксирована, топологическое пространство $(X,\tau)$ обычно обозначается одной буквой $X$.

Определение 2. Пусть $(X,\tau)$ — топологическое пространство. Подмножество $U\subseteq X$ называется открытым3) в $(X,\tau)$ или $\tau$-открытым, если оно принадлежит $\tau$. Подмножество $F\subseteq X$ называется замкнутым4) в $(X,\tau)$, если его дополнение $CF=X\backslash F$ — открыто в $(X,\tau)$.

Важные примеры

Пример 1. Пусть $X$ — произвольное множество. Семейство подмножеств $\tau_T=\{\varnothing,X\}$ определяет топологию на $X$, называемую тривиальной топологией5).

Пример 2. Пусть $X$ — произвольное множество. Семейство подмножеств $\tau_D=\mathcal{P}(X)=\{U\vert U\subseteq X\}$ определяет топологию на $X$, называемую дискретной топологией6).

Пример 3. Пусть $X=\mathbb{R}^n$, $\rho_U(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}$, $D_\varepsilon(a)=\{x\in\mathbb{R}^n\vert\rho_U(a,x)<\varepsilon\}$. Семейство подмножеств $\tau_U=\{U\subseteq\mathbb{R}^n\vert(\forall a\in U)(\exists\varepsilon>0):D_\varepsilon(a)\subseteq U\}$ определяет топологию на $\mathbb{R}^n$, называемую обычной топологией7).

Пример 4. Пусть $X$ — произвольное множество и $f:X\rightarrow X$ — биекция. Рассмотрим $\tau_f=\{U\subseteq X\vert f(U)=U\}$. Тогда $(X,\tau_f)$ — топологическое пространство.

Пример 5. Пусть $X=\{a,b\}$, тогда семейство подмножеств $\tau=\{\varnothing, X, \{a\}\}$ — топология на $X$, называемая топологией связного двоеточия8).

Сравнение топологий

Определение 3. Пусть $(X,\tau)$ и $(X,\omega)$ — топологические пространства. Говорят, что топология $\tau$ слабее9), или грубее10) топологии $\omega$, если $\tau\subseteq\omega$. В этом случае также говорят, что $\omega$ сильнее11), или тоньше12) $\tau$. Если $\tau\not\subseteq\omega$ и $\omega\not\subseteq\tau$, то говорят, что топологии $\tau$ и $\omega$ несравнимы13).

Пример 6. Тривиальная топология слабее любой другой топологии на этом же множестве.

Пример 7. Дискретная топология сильнее любой другой топологии на этом же множестве.

Свойства

Теорема 1. Пусть $(X,\tau)$ — топологическое пространство и $\tau=\{U_\alpha\subseteq X\vert\alpha\in\mathcal{A}\}$. Рассмотрим совокупность всех замкнутых множеств $\mathcal{F}=\{F_\alpha\vert F_\alpha=CU_\alpha,\alpha\in\mathcal{A}\}$. Тогда имеют место следующие свойства:

  1. $\varnothing,X\in\mathcal{F}$;
  2. пересечение произвольного семейства замкнутых множеств замкнуто:
    $(\forall\mathcal{B}\subseteq\mathcal{A}):\underset{\beta\in\mathcal{B}}{\bigcap}F_\beta\in\mathcal{F}$;
  3. объединение конечного семейства замкнутых множеств замкнуто:
    $(\forall F_\alpha\in\mathcal{F})(\forall F_\beta\in\mathcal{F}):F_\alpha\bigcup F_\beta\in\mathcal{F}$.

Теорема 2. Пусть $ X $ — произвольное множество, $\mathcal{F}=\{F_\alpha\subseteq X\vert\alpha\in\mathcal{A}\}$ — семейство подмножеств из $ X $, удовлетворяющих условиям:

  1. $\varnothing,X\in\mathcal{F}$;
  2. $(\forall\mathcal{B}\subseteq\mathcal{A}):\underset{\beta\in\mathcal{B}}{\bigcap}F_\beta\in\mathcal{F}$;
  3. $(\forall F_\alpha\in\mathcal{F})(\forall F_\beta\in\mathcal{F}):F_\alpha\bigcup F_\beta\in\mathcal{F}$.

Тогда существует единственная топология $\tau$ на множестве $ X $, такая что $\mathcal{F}$ — семейство всех замкнутых множеств в $(X,\tau)$.

См. также

Литература

1) topology on set
2) topological space
3) open subset
4) closed subset
5) trivial topology
6) discrete topology
7) usual topology
8) connected two-point topology, Serpinsky topology
9) weaker topology
10) coarser topology
11) stronger topology
12) finer topology
13) incomparable
glossary/topology.txt · Последние изменения: 07.10.2013 14:13:20 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0