Содержание

База топологии
- Описание
- Литература

База топологии

Описание

Определение 1. Пусть $(X,\tau)$ — топологическое пространство. Семейство подмножеств $\sigma=\{V_\beta\subseteq X\vert\beta\in\mathcal{B}}\}$ называется базой топологии¹⁾ $\tau$ , если:

каждый элемент $\sigma$ открыт в $(X,\tau)$ :
$\sigma\subseteq\tau$ ;
каждое открытое множество $(X,\tau)$ можно представить в виде объединения множеств из $\sigma$ :
$(\forall U\in\tau)(\exists\mathcal{C}_U\subseteq\mathcal{B}):U=\underset{\gamma\in\mathcal{C}_U}{\bigcup}V_\gamma$ .

Пример 1. Рассмотрим топологическое пространство $(\mathbb{R}^n,\tau_U)$ с обычной топологией. Множество $\sigma=\{D_\varepsilon(x)\vert x\in\mathbb{R}^n,\varepsilon>0\}$ образует базу топологии $\tau_U$ .

Определение 2. База $\sigma_0$ топологии $\tau$ называется минимальной²⁾, если она содержится в любой другой базе $\sigma$ топологии $\tau$ .

Пример 2. Рассмотрим произвольное топологическое пространство $(X,\tau_D)$ с дискретной топологией. Все одноточечные множества $\sigma_0=\{\{x\}\vert x\in X\}$ образуют базу топологии $\tau_D$ . Очевидно, что $\sigma_0$ — минимальная база топологии $\tau_D$ .

Теорема 1. Пусть $(X,\tau)$ — топологическое пространство и $\sigma=\{V_\beta\subseteq X\vert\beta\in\mathcal{B}}\}\subseteq\tau$ . Тогда $\sigma$ является базой топологии $\tau$ , если и только если $(\forall U\in\tau)(\forall x\in U)(\exists V\in\sigma): x\in V\subseteq U$ .

Теорема 2. Пусть $X$ — произвольное множество и $\sigma=\{V_\beta\subseteq X\vert\beta\in\mathcal{B}\}$ — некоторое семейство подмножеств $X$ . Тогда существует топология $\tau$ с базой $\sigma$ , если и только если:

$X=\underset{\beta\in\mathcal{B}}{\bigcup}V_\beta$ ;
для любых элементов $V,W$ из семейства $\sigma$ и каждой точки $x\in V\cap W$ найдется элемент $U$ такой, что $x\in U\subseteq V\cap W$ ,<latex>(\forall V\in\sigma)(\forall W\in\sigma)(\forall x\in V\cap W)(\exists U\in\sigma):x\in U\subseteq V\cap W</latex>.

Теорема 3. Если $(X,\tau)$ и $(X,\omega)$ — топологические пространства и существует общая база $\sigma$ для топологии $\tau$ и топологии $\omega$ , то $\tau=\omega$ .

Литература

Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. «Введение в топологию», Наука, 1995.
Рохлин В.А., Фукс Д.Б. «Начальный курс топологии. Геометрические главы», Наука, 1977.
Телеман К. «Элементы топологии и дифференцируемые многообразия», Мир, 1967.

топология, база топологии, дискретная топология, минимальная база топологии, обычная топология, открытое множество, топологическое пространство, топология

¹⁾

base of topology

²⁾

minimal

glossary/topology/base.txt · Последние изменения: 31.05.2020 16:57:39 — Ладилова Анна

Наверх