База топологии

Описание

Определение 1. Пусть $(X,\tau)$топологическое пространство. Семейство подмножеств $\sigma=\{V_\beta\subseteq X\vert\beta\in\mathcal{B}}\}$ называется базой топологии1) $\tau$, если:

  1. каждый элемент $\sigma$ открыт в $(X,\tau)$:
    $\sigma\subseteq\tau$;
  2. каждое открытое множество $(X,\tau)$ можно представить в виде объединения множеств из $\sigma$:
    $(\forall U\in\tau)(\exists\mathcal{C}_U\subseteq\mathcal{B}):U=\underset{\gamma\in\mathcal{C}_U}{\bigcup}V_\gamma$.

Пример 1. Рассмотрим топологическое пространство $(\mathbb{R}^n,\tau_U)$ с обычной топологией. Множество $\sigma=\{D_\varepsilon(x)\vert x\in\mathbb{R}^n,\varepsilon>0\}$ образует базу топологии $\tau_U$.

Определение 2. База $\sigma_0$ топологии $\tau$ называется минимальной2), если она содержится в любой другой базе $\sigma$ топологии $\tau$.

Пример 2. Рассмотрим произвольное топологическое пространство $(X,\tau_D)$ с дискретной топологией. Все одноточечные множества $\sigma_0=\{\{x\}\vert x\in X\}$ образуют базу топологии $\tau_D$. Очевидно, что $\sigma_0$ — минимальная база топологии $\tau_D$.

Теорема 1. Пусть $(X,\tau)$ — топологическое пространство и $\sigma=\{V_\beta\subseteq X\vert\beta\in\mathcal{B}}\}\subseteq\tau$. Тогда $\sigma$ является базой топологии $\tau$, если и только если $(\forall U\in\tau)(\forall x\in U)(\exists V\in\sigma): x\in V\subseteq U$.

Теорема 2. Пусть $ X $ — произвольное множество и $\sigma=\{V_\beta\subseteq X\vert\beta\in\mathcal{B}\}$ — некоторое семейство подмножеств $ X $. Тогда существует топология $\tau$ с базой $\sigma$, если и только если:

  1. $X=\underset{\beta\in\mathcal{B}}{\bigcup}V_\beta$;
  2. для любых элементов $V,W$ из семейства $\sigma$ и каждой точки $x\in V\cap W$ найдется элемент $U$ такой, что $x\in U\subseteq V\cap W$,<latex>(\forall V\in\sigma)(\forall W\in\sigma)(\forall x\in V\cap W)(\exists U\in\sigma):x\in U\subseteq V\cap W</latex>.

Теорема 3. Если $(X,\tau)$ и $(X,\omega)$ — топологические пространства и существует общая база $\sigma$ для топологии $\tau$ и топологии $\omega$, то $\tau=\omega$.

Литература

1) base of topology
2) minimal
glossary/topology/base.txt · Последние изменения: 01.10.2013 22:11:37 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0