Функтор

Определение функтора

Пусть даны категории $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$.

Определение 1. Ковариантный функтор1) $ F $ из категории $\mathcal{A}$ в $\mathcal{B}$ состоит из:

  • отображения объектов: каждому объекту $ A $ из $\mathcal{A}$ ставится в соответствие объект $F(A)$ из $\mathcal{B}$;
  • отображения морфизмов: каждому морфизму $f:A\rightarrow B$ из $\mathcal{A}$ ставится в соответствие морфизм $F(f):F(A)\rightarrow F(B)$ из $\mathcal{B}$, причем
    1. $F(1_B)=1_{F(B)}$ для любого $B\in\textrm{Ob}(\mathcal{A})$;
    2. $F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)$, для всех $ f $ и $ g $, таких, что определена композиция $g\circ f$.

Определение 2. Контравариантный функтор2) $ F $ из категории $\mathcal{A}$ в $\mathcal{B}$ состоит из:

  • отображения объектов: каждому объекту $ A $ из $\mathcal{A}$ ставится в соответствие объект $F(A)$ из $\mathcal{B}$;
  • отображения морфизмов: каждому морфизму $f:A\rightarrow B$ из $\mathcal{A}$ ставится в соответствие морфизм $F(f):F(A)\rightarrow F(B)$ из $\mathcal{B}$, причем
    1. $F(1_B)=1_{F(B)}$ для любого $B\in\textrm{Ob}(\mathcal{A})$;
    2. $F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)$, для всех $ f $ и $ g $, таких, что определена композиция $g\circ f$.

Пример 1. Пусть $\mathfrak{Grp}$категория групп, $\mathfrak{Set}$категория множеств. Рассмотрим функтор $ F $, который каждой группе $ G $ ставит в соответствие множество ее элементов $F(G)$, а каждому гомоморфизму групп $f:G\rightarrow G'$ сопоставляет то же отображение, рассматриваемое как отображение множеств. Такой функтор называется стирающим3). Вместо категории групп можно рассматривать категории колец, алгебр, моноидов и так далее.

Пример 2. Пусть $\mathcal{A}$ — некоторая категория, $A\in\textrm{Ob}\mathcal{A}$. Тогда отображения $F_A:\textrm{Ob}\mathcal{A}\rightarrow\textrm{Ob}\mathfrak{Set}$ и $F_A(\varphi):\textrm{Hom}_{\mathcal{A}}(A,B)\rightarrow\textrm{Hom}_{\mathcal{A}}(A,C)$, заданные правилом $F_A(B)=\textrm{Hom}_{\mathcal{A}}(A,B)$ и $F_A(\varphi)(g)=\varphi\circ g$ для произвольных $A,B,C\in\textrm{Ob}\mathcal{A}$, морфизма $\varphi:B\rightarrow C$ и морфизма $g\in\textrm{Hom}_{\mathcal{A}}(A,B)$, задают ковариантный функтор $F_A:\mathcal{A}\rightarrow\mathfrak{Set}$. Этот функтор называется представляющим4).

Естественное преобразование функторов

Определение 3. Пусть даны два функтора $F,G:\mathcal{A}\rightarrow\mathcal{B}$. Естественное преобразование5), или морфизм функторов6) $\tau:F\rightarrow G$ — это функция, которая каждому объекту $A\in\mathcal{A}$ сопоставляет морфизм $\tau(A):F(A)\rightarrow G(A)$ таким образом, что для каждого морфизма $f:A\rightarrow B$ из $\mathcal{A}$ следующая диаграмма коммутативна:
$\begin{diagram}
\node{F(A)}\arrow[2]{e,t}{\tau(A)}\arrow[2]{s,l}{F(f)}\node[2]{G(A)}\arrow[2]{s,r}{G(f)}\\ \\
\node{F(B)}\arrow[2]{e,b}{\tau(B)}\node[2]{G(B).}
\end{diagram}$
Если для каждого $ A $ компонента $\tau(A)$ обратима в $\mathcal{B}$, то $\tau$ называется естественным изоморфизмом7).

Типы функторов

Определение 4. Функтор $F:\mathcal{A}\rightarrow\mathcal{B}$ называется строгим8), если для любых $A,B\in\textrm{Ob}\mathcal{A}$ отображение $F:\textrm{Hom}_{\mathcal{A}}(A,B)\rightarrow\textrm{Hom}_{\mathcal{B}}(A,B)$ является вложением.

Определение 5. Функтор $F:\mathcal{A}\rightarrow\mathcal{B}$ называется полным9), если для любых $A,B\in\textrm{Ob}\mathcal{A}$ отображение $F:\textrm{Hom}_{\mathcal{A}}(A,B)\rightarrow\textrm{Hom}_{\mathcal{B}}(A,B)$ сюръективно.

См. также

Литература

1) covariant functor
2) contravariant functor
3) forgetful functor
4) representing functor
5) natural transformation
6) morphism of functors
7) natural isomorphism
8) faithful functor
9) full functor
glossary/category/functor.txt · Последние изменения: 08.01.2011 08:56:17 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0