Содержание
Функтор
Определение функтора
Пусть даны категории и
.
Определение 1. Ковариантный функтор1) из категории
в
состоит из:
-
для любого
;
Определение 2. Контравариантный функтор2) из категории
в
состоит из:
- отображения объектов: каждому объекту
из
ставится в соответствие объект
из
;
- отображения морфизмов: каждому морфизму
из
ставится в соответствие морфизм
из
, причем
для любого
;
Пример 1. Пусть — категория групп,
— категория множеств. Рассмотрим функтор
, который каждой группе
ставит в соответствие множество ее элементов
, а каждому гомоморфизму групп
сопоставляет то же отображение, рассматриваемое как отображение множеств. Такой функтор называется стирающим3). Вместо категории групп можно рассматривать категории колец, алгебр, моноидов и так далее.
Пример 2. Пусть — некоторая категория,
. Тогда отображения
и
, заданные правилом
и
для произвольных
, морфизма
и морфизма
, задают ковариантный функтор
. Этот функтор называется представляющим4).
Естественное преобразование функторов
Определение 3. Пусть даны два функтора . Естественное преобразование5), или морфизм функторов6)
— это функция, которая каждому объекту
сопоставляет морфизм
таким образом, что для каждого морфизма
из
следующая диаграмма коммутативна:
Если для каждого компонента
обратима в
, то
называется естественным изоморфизмом7).
Типы функторов
Определение 4. Функтор называется строгим8), если для любых
отображение
является вложением.
Определение 5. Функтор называется полным9), если для любых
отображение
сюръективно.
См. также
Литература
- Букур И., Деляну А. «Введение в теорию категорий и функторов», Мир, 1972.
- Гельфанд С.И., Манин Ю.И. «Методы гомологической алгебры», т.1, Наука, 1988.