Содержание

Пучок топологического пространства

Определение пучка

Определение 1. Предпучок $\mathcal{F}$ топологического пространства $(X,\tau)$ называется пучком1), если для произвольного открытого подмножества $ U $ и его открытого покрытия $\{V_i\vert i\in\mathcal{I}\}$ выполнены

  1. условие единственности: для каждого сечения $s\in\mathcal{F}(U)$ из того, что $\rho_{UV_i}(s)=0$ для всех $i\in\mathcal{I}$ следует, что $s=0$.
  2. условие склейки: пусть для каждого $k\in\mathcal{I}$ задан элемент $s_k\in\mathcal{F}(V_k)$ таким образом, что $\rho_{V_i,V_i\cap V_j}(s_i)=\rho_{V_j,V_i\cap V_j}(s_j)$ для любых $i,j\in\mathcal{I}$, тогда существует элемент $s\in\mathcal{F}(U)$ такой, что $\rho_{UV_i}(s)=s_i$ для любого $i\in\mathcal{I}$.

Пример 1. Пусть $ X $ — топологическое пространство и $ A $ — абелева группа, наделенная дискретной топологией $\tau_D$. Для каждого открытого множества $ U $ определим группу $\mathcal{A}(U)$ всех его непрерывных отображений из $ U $ в $ A $. Тогда вместе с обычными отображениями ограничения набор групп $\mathcal{A}(U)$ задает пучок $\mathcal{A}$. Этот пучок называется постоянным.2)

Пример 2. Пусть $(X,\tau)$ — произвольное топологическое пространство. Для открытого подмножества $U\in\tau$ через $\mathcal{C}(U)$ обозначим множество всех непрерывных функций $f:U\rightarrow\mathbb{C}$. Для $V\subset U$ пусть $\rho_{UV}:\mathcal{C}(U)\rightarrow\mathcal{C}(V)$ — обычное отображение ограничения. Тогда $\mathcal{C}$ является пучком и называется пучком непрерывных комплекснозначных функций на $ X $.

Пучок, ассоциированный с предпучком

Определение 2. Пусть $\mathcal{F}$ — предпучок на топологическом пространстве $(X,\tau)$. Построим пучок $\mathcal{F}^+$ по правилу $\mathcal{F}^+(U)=\{s:U\rightarrow\underset{P\in U}{\cup}\mathcal{F}_P\}$, где отображение $ s $ удовлетворяет условиям:

  1. $s(P)\in\mathcal{F}_P$ для любой точки $P\in U$;
  2. существуют такая окрестность $V$ точки $P,\ P\in V\subseteq U$ и такое сечение $t\in\mathcal{F}(V)$, что для любой точки $Q\in V$ выполнено соотношение $t_Q=s(Q),$ где $t_Q$ — росток $ t $ в точке $ Q $3).

Тогда $\mathcal{F}^+$ называется пучком, ассоциированным с предпучком4) $\mathcal{F}$.

Предложение 1. Пучок $\mathcal{F}^+$, ассоциированный с предпучком $\mathcal{F}$, является пучком5).

Предложение 2. Пара $(\mathcal{F}^+,\Theta)$, состоящая из пучка $\mathcal{F}^+$, ассоциированного с предпучком $\mathcal{F}$ и морфизма предпучков $\Theta\colon\mathcal{F}\rightarrow\mathcal{F}^+$, который элементу $s\in\mathcal{F}(U)$ ставит в соответствие функцию $P\mapsto s_P$ — взятие ростка сечения $s$ в точке $P\in U$, обладает универсальным свойством:
для любого пучка $\mathcal{G}$ и морфизма предпучков $\varphi\colon\mathcal{F}\rightarrow\mathcal{G}$ существует единственный морфизм пучков $\psi\colon\mathcal{F}^+\rightarrow\mathcal{G}$, делающий коммутативной диаграмму

$\begin{diagram}\node{\mathcal{F}}\arrow[2]{e,t}{\Theta}\arrow{se,b}{\varphi}\node[2]{\mathcal{F}^+}\arrow{sw,b}{\psi}\\\node[2]{\mathcal{G}}\end{diagram}$.

Определение 3. Подпучком6) пучка $\mathcal{F}$ называется пучок $\mathcal{F}'$ такой, что $\mathcal{F}'(U)$ является подгруппой абелевой группы 7) $\mathcal{F}(U)$ для всех $U\in\tau$ и отображения ограничения для пучка $\mathcal{F}'$ индуцированы отображениями ограничения для пучка $\mathcal{F}$.

Определение 4. Пусть $\mathcal{F}'$ — подпучок пучка $\mathcal{F}$. Пучок $\mathcal{F}/\mathcal{F}'$, ассоциированный с предпучком $\mathcal{F}/\mathcal{F}'(U)=\mathcal{F}(U)/\mathcal{F}'(U)$ называется факторпучком8).

Пучок колец на простом спектре

Для простого идеала $\mathfrak{p}\subset A$ через $A_{\mathfrak{p}}$ обозначается локальное кольцо кольца $A$.

Пучок $\mathcal{O}$ на простом спектре кольца $A$ определяется следующим образом. Каждому открытому подмножеству $U\subseteq\textrm{Spec}~A$ поставим в соответствие множество $\mathcal{O}(U)=\{s\colon U\rightarrow\prod_{\mathfrak{p}\in U}A_{\mathfrak{p}}\}$, в котором отображения $s$ удовлетворяют свойствам

  1. $s(\mathfrak{p})\in A_{\mathfrak{p}}$ для любого $\mathfrak{p}\in U$;
  2. для любой точки $\mathfrak{p}\in U$ существуют ее открытая окрестность $\mathfrak{p}\in V\subseteq U$ и элементы кольца $a,f\in A$, что $s(\mathfrak{q})=\dfrac{a}{f},f\not\in\mathfrak{q}$ для произвольной точки $\mathfrak{q}\in V$.

Множество $\mathcal{O}(U)$ является кольцом с операцией сложения $+$ и операцией умножения $\cdot$, определенными формулами:

  1. $(s+s')(\mathfrak{p})=s(\mathfrak{p})+s'(\mathfrak{p})$;
  2. $(s\cdot s')(\mathfrak{p})=s(\mathfrak{p})\cdot s'(\mathfrak{p})$.

Единичный и нулевой элементы этого кольца — отображения, переводящие каждую точку $\mathfrak{p}\in U$ в 0 и 1 кольца $A_{\mathfrak{p}}$, соответственно.

Теорема 1. Топологическое пространство $\textrm{Spec}~A$ вместе с определенным выше пучком колец является локально окольцованным пространством.

См. также

Литература

, , , , , ,
1)
sheaf
2)
Постоянный пучок ассоциирован с постоянным предпучком.
3)
Заметим, что $t\in\underset{Q\in U}{\oplus}\mathcal{F}(U)$, а слой над точкой можно рассматривать как фактор этой суммы по некоторому отношению эквивалентности. Под $t_Q$ здесь понимается ни что иное, как класс эквивалентности элемента $ t $.
4)
shief associated with preshief
5)
в смысле определения 1
6)
subshief
7)
соответственно, подмножеством,подкольцом кольца, подалгеброй алгебры
8)
factor shief
glossary/topology/sheaf.txt · Последние изменения: 16.01.2015 10:23:18 — Ладилова Анна
Наверх
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0