Содержание
Открытое покрытие
Определение
Определение 1. Семейство подмножеств называется покрытием множества1)
, если
. Пусть
— подмножество, тогда
— покрытие
, если
.
Определение 2. Если является топологическим пространством с топологией
и если
— покрытие пространства
открытыми множествами, то говорят, что
— открытое покрытие2).
Пример 1. Пусть — топологическое пространство. Любая база топологии
является открытым покрытием пространства
.
Определение 3. Если является топологическим пространством с топологией
и если
— покрытие пространства
замкнутыми множествами, то говорят, что
— замкнутое покрытие3).
Определение 4. Говорят, что покрытие топологического пространства
является конечным (счетным), если в нем конечное (счетное) число элементов.
Определение 5. Говорят, что покрытие топологического пространства
является фундаментальным, если для любого топологического пространства
и любого отображения
из непрерывности отображений
для всех
следует непрерывность
.
Теорема 1. Любое открытое покрытие является фундаментальным.
Теорема 2. Любое конечное замкнутое покрытие является фундаментальным.
Литература
- Рохлин В.А., Фукс Д.Б. «Начальный курс топологии. Геометрические главы», Наука, 1977.
- Телеман К. «Элементы топологии и дифференцируемые многообразия», Мир, 1967.