Открытое покрытие

Определение

Определение 1. Семейство подмножеств $\mathcal{A}=\{U_\alpha\subseteq X\vert\alpha\in I\}$ называется покрытием множества1) $ X $, если $X=\underset{\alpha\in I}{\bigcup}U_\alpha$. Пусть $Y\subset X$ — подмножество, тогда $\mathcal{A}$ — покрытие $ Y $, если $\underset{\alpha\in I}{\bigcup}U_\alpha\supseteq Y$.

Определение 2. Если $ X $ является топологическим пространством с топологией $\tau$ и если $\mathcal{A}$ — покрытие пространства $(X,\tau)$ открытыми множествами, то говорят, что $\mathcal{A}$открытое покрытие2).

Пример 1. Пусть $(X,\tau)$ — топологическое пространство. Любая база топологии $\tau$ является открытым покрытием пространства $ X $.

Определение 3. Если $ X $ является топологическим пространством с топологией $\tau$ и если $\mathcal{A}$ — покрытие пространства $(X,\tau)$ замкнутыми множествами, то говорят, что $\mathcal{A}$замкнутое покрытие3).

Определение 4. Говорят, что покрытие $\mathcal{A}$ топологического пространства $(X,\tau)$ является конечным (счетным), если в нем конечное (счетное) число элементов.

Определение 5. Говорят, что покрытие $\mathcal{A}$ топологического пространства $(X,\tau)$ является фундаментальным, если для любого топологического пространства $(Y,\omega)$ и любого отображения $f:X\rightarrow Y$ из непрерывности отображений $f_{\vert A}:U_\alpha\rightarrow Y$ для всех $U_\alpha\in\mathcal{A}$ следует непрерывность $ f $.

Теорема 1. Любое открытое покрытие является фундаментальным.

Теорема 2. Любое конечное замкнутое покрытие является фундаментальным.

Литература

1)
covering of set, set cover
2)
open cover
3)
closed cover
glossary/topology/cover.txt · Последние изменения: 04.04.2014 21:44:27 — Ладилова Анна
Наверх
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0