Окрестность в топологическом пространстве

проверено

Описание

Определение 1. Окрестностью подмножества1) $ A $ топологического пространства $(X,\tau)$ называется всякое открытое множество $U_A$, содержащее это подмножество: $A\subseteq U_A\in\tau$. В частности, окрестностью точки2) $ x $ топологического пространства $(X,\tau)$ называется всякое открытое множество $U_x\in\tau$, содержащее эту точку: $x\in U_x$.

Пример 1. Любая точка $ x $ топологического пространства $(X,\tau)$ допускает в качестве окрестности все пространство: $U_x=X$.

Предложение 1. Пусть $(X,\tau)$ — топологическое пространство, тогда $ U $ открытое в $(X,\tau)$ если и только если для каждого $x\in U$ найдется окрестность $U_x$ точки $x$, содержащаяся в $U$, $x\in U_x\subseteq U$.<latex>(\forall x\in U)(\exists U_x\in\tau):x\in U_x\subseteq U</latex>.

Литература

1)
set neighborhood
2)
neighborhood of point, point neighborhood, suburb of point
glossary/topology/neighborhood.txt · Последние изменения: 09.01.2011 14:29:25 — Ладилова Анна
Наверх
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 4.0 International
Driven by DokuWiki Recent changes RSS feed Valid CSS Valid XHTML 1.0