Кольцо частных

Мультипликативно замкнутое подмножество

Пусть $A$коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.

Определение 1. Мультипликативно замкнутым подмножеством кольца $A$ будем называть подмножество $S\subset A$, удовлетворяющее условиям

  1. $1\in S$;
  2. $x\cdot y\in S$ для любых $x,y\in S$.

Кольцо частных

Пусть $S$ — мультипликативно заданное подмножество кольца $A$.

Определение 1. На множестве упорядоченных пар $A\times S=\{(a,s)|a\in A,s\in S\}$ определено отношение эквивалентности: две упорядоченные пары $(a,s)$ и $(a',s')$ считаются эквивалентными, если $t(as'-a's)=0$ для некоторого $t\in S$. Класс эквивалентности пары $(a,s)$ обозначается через $\dfrac{a}{s}$, а множество классов эквивалентности на $A\times S$ — через $S^{-1}A$. Следующие формулы задают на $S^{-1}A$ корректно определенные операции сложения $+$ и умножения $\cdot$:

  1. $\dfrac{a}{s}\cdot\dfrac{a'}{s'}=\dfrac{aa'}{ss'}}$,
  2. $\dfrac{a}{s}+\dfrac{a'}{s'}=\dfrac{as'+a's}{ss'}$.

Относительно этих операций множество $S^{-1}A$ является коммутативным ассоциативным кольцом с единицей $\dfrac{1}{1}$. Нулевой элемент этого кольца равен $\dfrac{0}{1}$, противоположный для $\dfrac{a}{s}$ равен $\dfrac{-a}{s}$. Кольцо $S^{-1}A$ называется кольцом частных кольца $A$.

Пример 1. Пусть $A$область целостности, тогда $S=A^*$ — мультипликативно замкнутое подмножество. В этом случае кольцо частных $S^{-1}A$ является полем, и называется полем частных кольца $A$.

Локализация

Пример 2. Пусть $\mathfrak{p}$простой идеал кольца $A$. Тогда $S=A\backslash\mathfrak{p}$ — мультипликативно замкнутое подмножество. В этом случае $S^{-1}A$ обозначается через $A_{\mathfrak{p}}$, состоит из элементов $\dfrac{a}{s}$, где $s\not\in\mathfrak{p}$ и называется локальным кольцом кольца1)2) $A$. Процесс перехода от $A$ к $A_{\mathfrak{p}}$ называется локализацией3) относительно $\mathfrak{p}$.

Универсальное свойство

Пусть $S$ — мультипликативно заданное подмножество кольца $A$. Через $\varphi_S$ обозначим гомоморфизм колец $\varphi_S\colon A\rightarrow S^{-1}A\colon a\mapsto\dfrac{a}{1}$.

Предложение 1. Для произвольного коммутативного ассоциативного кольца с единицей $B$ и гомоморфизма $\alpha\colon A\rightarrow B$, удовлетворяющего условию $\alpha(s)$ обратим в $B$ для любого $s\in S$, существует единственный гомоморфизм колец $\beta\colon S^{-1}A\rightarrow B$ такой, что $\alpha=\beta\circ\varphi_S$, то есть коммутативна диаграмма

$\begin{diagram}\node{A}\arrow{se,b}{\alpha}\arrow[2]{e,t}{\varphi_S}\node[2]{S^{-1}A}\arrow{sw,b}{\beta}\\\node[2]{B}\end{diagram}$.

Гомоморфизм $\beta$ задается формулой $\beta(\frac{a}{s})=\alpha(a)\alpha(s)^{-1}$.

См. также

Литература

1) local ring
2) см. определение локального кольца
3) localization
glossary/ring/commutative/quotient.txt · Последние изменения: 07.10.2011 22:40:56 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0