Содержание
Кольцо частных
Мультипликативно замкнутое подмножество
Пусть — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.
Определение 1. Мультипликативно замкнутым подмножеством кольца будем называть подмножество
, удовлетворяющее условиям
;
для любых
.
Кольцо частных
Пусть — мультипликативно заданное подмножество кольца
.
Определение 1. На множестве упорядоченных пар определено отношение эквивалентности: две упорядоченные пары
и
считаются эквивалентными, если
для некоторого
. Класс эквивалентности пары
обозначается через
, а множество классов эквивалентности на
— через
. Следующие формулы задают на
корректно определенные операции сложения
и умножения
:
,
.
Относительно этих операций множество является коммутативным ассоциативным кольцом с единицей
. Нулевой элемент этого кольца равен
, противоположный для
равен
. Кольцо
называется кольцом частных кольца
.
Пример 1. Пусть — область целостности, тогда
— мультипликативно замкнутое подмножество. В этом случае кольцо частных
является полем, и называется полем частных кольца
.
Локализация
Пример 2. Пусть — простой идеал кольца
. Тогда
— мультипликативно замкнутое подмножество. В этом случае
обозначается через
, состоит из элементов
, где
и называется локальным кольцом кольца1)2)
. Процесс перехода от
к
называется локализацией3) относительно
.
Универсальное свойство
Пусть — мультипликативно заданное подмножество кольца
. Через
обозначим гомоморфизм колец
.
Предложение 1. Для произвольного коммутативного ассоциативного кольца с единицей и гомоморфизма
, удовлетворяющего условию
обратим в
для любого
, существует единственный гомоморфизм колец
такой, что
, то есть коммутативна диаграмма
.
Гомоморфизм задается формулой
.