Кольцо частных

Мультипликативно замкнутое подмножество

Пусть $A$ — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.

Определение 1. Мультипликативно замкнутым подмножеством кольца $A$ будем называть подмножество $S\subset A$ , удовлетворяющее условиям

$1\in S$ ;
$x\cdot y\in S$ для любых $x,y\in S$ .

Кольцо частных

Пусть $S$ — мультипликативно заданное подмножество кольца $A$ .

Определение 1. На множестве упорядоченных пар $A\times S=\{(a,s)|a\in A,s\in S\}$ определено отношение эквивалентности: две упорядоченные пары $(a,s)$ и $(a',s')$ считаются эквивалентными, если $t(as'-a's)=0$ для некоторого $t\in S$ . Класс эквивалентности пары $(a,s)$ обозначается через $\dfrac{a}{s}$ , а множество классов эквивалентности на $A\times S$ — через $S^{-1}A$ . Следующие формулы задают на $S^{-1}A$ корректно определенные операции сложения $+$ и умножения $\cdot$ :

$\dfrac{a}{s}\cdot\dfrac{a'}{s'}=\dfrac{aa'}{ss'}}$ ,
$\dfrac{a}{s}+\dfrac{a'}{s'}=\dfrac{as'+a's}{ss'}$ .

Относительно этих операций множество $S^{-1}A$ является коммутативным ассоциативным кольцом с единицей $\dfrac{1}{1}$ . Нулевой элемент этого кольца равен $\dfrac{0}{1}$ , противоположный для $\dfrac{a}{s}$ равен $\dfrac{-a}{s}$ . Кольцо $S^{-1}A$ называется кольцом частных кольца $A$ .

Пример 1. Пусть $A$ — область целостности, тогда $S=A^*$ — мультипликативно замкнутое подмножество. В этом случае кольцо частных $S^{-1}A$ является полем, и называется полем частных кольца $A$ .

Локализация

Пример 2. Пусть $\mathfrak{p}$ — простой идеал кольца $A$ . Тогда $S=A\backslash\mathfrak{p}$ — мультипликативно замкнутое подмножество. В этом случае $S^{-1}A$ обозначается через $A_{\mathfrak{p}}$ , состоит из элементов $\dfrac{a}{s}$ , где $s\not\in\mathfrak{p}$ и называется локальным кольцом кольца¹⁾²⁾ $A$ . Процесс перехода от $A$ к $A_{\mathfrak{p}}$ называется локализацией³⁾ относительно $\mathfrak{p}$ .

Универсальное свойство

Пусть $S$ — мультипликативно заданное подмножество кольца $A$ . Через $\varphi_S$ обозначим гомоморфизм колец $\varphi_S\colon A\rightarrow S^{-1}A\colon a\mapsto\dfrac{a}{1}$ .

Предложение 1. Для произвольного коммутативного ассоциативного кольца с единицей $B$ и гомоморфизма $\alpha\colon A\rightarrow B$ , удовлетворяющего условию $\alpha(s)$ обратим в $B$ для любого $s\in S$ , существует единственный гомоморфизм колец $\beta\colon S^{-1}A\rightarrow B$ такой, что $\alpha=\beta\circ\varphi_S$ , то есть коммутативна диаграмма