Простой идеал в коммутативном кольце

проверено. надо примеры. надо критерий

Определение

Пусть $A$ — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей.

Определение 1. Собственный идеал $\rho$ кольца $A$ называется простым¹⁾, если из включения $ab\in\rho$ следует, что либо $a\in\rho$ , либо $b\in\rho$ .

Свойства

Предложение 1. Идеал $\rho$ кольца $A$ прост тогда и только тогда, когда факторкольцо $A/\rho$ — область целостности.

Предложение 2. Пусть $\varphi\colon A\rightarrow B$ — гомоморфизм колец. Тогда, если $\rho\triangleleft B$ — простой идеал в $B$ , то прообраз $\varphi^{-1}(\rho)$ — простой идеал в $A$ .