Предпучок топологического пространства

Определение

Определение 1. Пусть $(X,\tau)$ — топологическое пространство. Говорят, что на $X$ задан предпучок¹⁾ абелевых групп (колец, алгебр) $\mathcal{F}$ если каждому открытому подмножеству $U\in\tau$ поставлена в соответствие абелева группа (кольцо, алгебра) $\mathcal{F}(U)$ , а для каждой пары открытых подмножеств $V,U\in\tau$ таких, что $V\subseteq U$ , определен морфизм абелевых групп (колец, алгебр) $\rho_{UV}:\mathcal{F}(U)\rightarrow\mathcal{F}(V)$ , причем выполнены следующие условия:

$\mathcal{F}(\varnothing)=0$ ;
$\rho_{UU}=\textrm{id}_{\mathcal{F}(U)}$ ;
$W\subseteq V\subseteq U\Rightarrow\rho_{UW}=\rho_{VW}\circ\rho_{UV}$ .

Элементы $\mathcal{F}(U)$ называются сечениями предпучка²⁾ $\mathcal{F}$ над открытым множеством $U$ . Отображения $\rho_{UV}$ называются отображениями ограничения³⁾. Часто для $s\in\mathcal{F}(U)$ вместо $\rho_{UV}(s)$ пишут $s\vert_{V}$ .

Пример 1. Пусть $X$ — топологическое пространство и $A$ — абелева группа. Для каждого непустого открытого множества $U$ положим $\mathcal{A}(U)=A$ . Тогда вместе с тождественными отображениями ограничения набор групп $\mathcal{A}(U)$ задает предпучок $\mathcal{A}$ . Этот предпучок называется постоянным⁴⁾.

Пример 2. Пусть $X$ — топологическое пространство и $M$ — произвольное множество. Для каждого непустого открытого подмножества $U$ из $X$ положим $\mathcal{F}(U)$ — множество всех функций $f\colon U\rightarrow M$ . Для $V\subseteq U$ отображение ограничения $\rho_{UV}$ — естественное ограничение функции на помножество. Тогда легко видеть, что $\mathcal{F}$ — предпучок, который называется предпучком всех функций на $X$ .

Определение 2. Слоем⁵⁾ $\mathcal{F}_P$ предпучка $\mathcal{F}$ в точке $P\in X$ называется прямой предел абелевых групп (колец, алгебр) $\mathcal{F}(U)$ (относительно отображений ограничения) по всем окрестностям $U$ точки $P$ . Элементы слоя $\mathcal{F}_P$ называются ростками⁶⁾ сечений предпучка $\mathcal{F}$ в точке $P$ .

Замечание 1. Пусть $\mathcal{T}(X)$ категория, объекты которой — множества $U\in\tau$ , а морфизмы $\textrm{Hom}(V,U)$ — отображения вложения. Тогда предпучок — это контравариантный функтор из категории $\mathcal{T}(X)$ в категорию $\mathcal{A}$ абелевых групп (колец, алгебр).

Структурный предпучок

Пример 3. Пусть $A$ — целостное кольцо. Обозначим через $K$ его поле частных. Кольцу $A$ соответствует топологическое пространство $\textrm{Spec}~A$ — простой спектр кольца. Для каждого открытого подмножества $U\subseteq\textrm{Spec}~A$ определим множество $\mathcal{O}(U)$ таких элементов $u\in K$ , что в каждой точке $x\in U$ существует представление $u=\frac{a}{b}$ , где $b(x)\neq 0$ ⁷⁾. Из построения $\mathcal{O}(U)$ немедленно следует, что это кольцо, содержащееся в $K$ . Кроме того, если $V\subset U$ , то $\mathcal{O}(U)\subset\mathcal{O}(V)$ — естественное вложение. Легко видеть, что набор колец $\mathcal{O}(U)$ вместе с естественным вложением определяет предпучок колец на $\textrm{Spec}~A$ .