Предпучок топологического пространства

Определение

Определение 1. Пусть $(X,\tau)$топологическое пространство. Говорят, что на $X$ задан предпучок1) абелевых групп (колец, алгебр) $\mathcal{F}$ если каждому открытому подмножеству $U\in\tau$ поставлена в соответствие абелева группа (кольцо, алгебра) $\mathcal{F}(U)$, а для каждой пары открытых подмножеств $V,U\in\tau$ таких, что $V\subseteq U$, определен морфизм абелевых групп (колец, алгебр) $\rho_{UV}:\mathcal{F}(U)\rightarrow\mathcal{F}(V)$, причем выполнены следующие условия:

  1. $\mathcal{F}(\varnothing)=0$;
  2. $\rho_{UU}=\textrm{id}_{\mathcal{F}(U)}$;
  3. $W\subseteq V\subseteq U\Rightarrow\rho_{UW}=\rho_{VW}\circ\rho_{UV}$.

Элементы $\mathcal{F}(U)$ называются сечениями предпучка2) $\mathcal{F}$ над открытым множеством $ U $. Отображения $\rho_{UV}$ называются отображениями ограничения3). Часто для $s\in\mathcal{F}(U)$ вместо $\rho_{UV}(s)$ пишут $s\vert_{V}$.

Пример 1. Пусть $X$ — топологическое пространство и $A$ — абелева группа. Для каждого непустого открытого множества $U$ положим $\mathcal{A}(U)=A$. Тогда вместе с тождественными отображениями ограничения набор групп $\mathcal{A}(U)$ задает предпучок $\mathcal{A}$. Этот предпучок называется постоянным4).

Пример 2. Пусть $X$ — топологическое пространство и $M$ — произвольное множество. Для каждого непустого открытого подмножества $U$ из $X$ положим $\mathcal{F}(U)$ — множество всех функций $f\colon U\rightarrow M$. Для $V\subseteq U$ отображение ограничения $\rho_{UV}$ — естественное ограничение функции на помножество. Тогда легко видеть, что $\mathcal{F}$ — предпучок, который называется предпучком всех функций на $X$.

Определение 2. Слоем5) $\mathcal{F}_P$ предпучка $\mathcal{F}$ в точке $P\in X$ называется прямой предел абелевых групп (колец, алгебр) $\mathcal{F}(U)$ (относительно отображений ограничения) по всем окрестностям $ U $ точки $ P $. Элементы слоя $\mathcal{F}_P$ называются ростками6) сечений предпучка $\mathcal{F}$ в точке $ P $.

Замечание 1. Пусть $\mathcal{T}(X)$ категория, объекты которой — множества $U\in\tau$, а морфизмы $\textrm{Hom}(V,U)$ — отображения вложения. Тогда предпучок — это контравариантный функтор из категории $\mathcal{T}(X)$ в категорию $\mathcal{A}$ абелевых групп (колец, алгебр).

Структурный предпучок

Пример 3. Пусть $A$целостное кольцо. Обозначим через $K$ его поле частных. Кольцу $A$ соответствует топологическое пространство $\textrm{Spec}~A$простой спектр кольца. Для каждого открытого подмножества $U\subseteq\textrm{Spec}~A$ определим множество $\mathcal{O}(U)$ таких элементов $u\in K$, что в каждой точке $x\in U$ существует представление $u=\frac{a}{b}$, где $b(x)\neq 0$7). Из построения $\mathcal{O}(U)$ немедленно следует, что это кольцо, содержащееся в $K$. Кроме того, если $V\subset U$, то $\mathcal{O}(U)\subset\mathcal{O}(V)$ — естественное вложение. Легко видеть, что набор колец $\mathcal{O}(U)$ вместе с естественным вложением определяет предпучок колец на $\textrm{Spec}~A$.

См. также

Литература

1) presheaf
2) section of shief
3) restriction mapping
4) constant presheaf
5) fiber
6) germ
7) или, что то же самое, $b\not\in x$
glossary/topology/presheaf.txt · Последние изменения: 16.01.2015 13:20:55 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0