Содержание
Предпучок топологического пространства
Определение
Определение 1. Пусть — топологическое пространство. Говорят, что на
задан предпучок1) абелевых групп (колец, алгебр)
если каждому открытому подмножеству
поставлена в соответствие абелева группа (кольцо, алгебра)
, а для каждой пары открытых подмножеств
таких, что
, определен морфизм абелевых групп (колец, алгебр)
, причем выполнены следующие условия:
;
;
.
Элементы называются сечениями предпучка2)
над открытым множеством
. Отображения
называются отображениями ограничения3). Часто для
вместо
пишут
.
Пример 1. Пусть — топологическое пространство и
— абелева группа. Для каждого непустого открытого множества
положим
. Тогда вместе с тождественными отображениями ограничения набор групп
задает предпучок
. Этот предпучок называется постоянным4).
Пример 2. Пусть — топологическое пространство и
— произвольное множество. Для каждого непустого открытого подмножества
из
положим
— множество всех функций
. Для
отображение ограничения
— естественное ограничение функции на помножество. Тогда легко видеть, что
— предпучок, который называется предпучком всех функций на
.
Определение 2. Слоем5) предпучка
в точке
называется прямой предел абелевых групп (колец, алгебр)
(относительно отображений ограничения) по всем окрестностям
точки
. Элементы слоя
называются ростками6) сечений предпучка
в точке
.
Замечание 1. Пусть категория, объекты которой — множества
, а морфизмы
— отображения вложения. Тогда предпучок — это контравариантный функтор из категории
в категорию
абелевых групп (колец, алгебр).
Структурный предпучок
Пример 3. Пусть — целостное кольцо. Обозначим через
его поле частных. Кольцу
соответствует топологическое пространство
— простой спектр кольца. Для каждого открытого подмножества
определим множество
таких элементов
, что в каждой точке
существует представление
, где
7). Из построения
немедленно следует, что это кольцо, содержащееся в
. Кроме того, если
, то
— естественное вложение. Легко видеть, что набор колец
вместе с естественным вложением определяет предпучок колец на
.
См. также
Литература
