Морфизм пучков

проверено. неплохо было бы пояснить про левые и правые обратные морфизмы

Морфизм предпучков

Определение 1. Пусть $\mathcal{F}$ и $\mathcal{G}$ — предпучки на топологическом пространстве $(X,\tau)$ . Морфизмом $\varphi:\mathcal{F}\rightarrow\mathcal{G}$ предпучков¹⁾ $\mathcal{F}$ и $\mathcal{G}$ на $X$ называется набор морфизмов абелевых групп (колец, алгебр) $\{\varphi(U):\mathcal{F}(U)\rightarrow\mathcal{G}(U)\vert U\in\tau\}$ , причем для произвольных множеств $U,V\in\tau$ таких, что $V\subseteq U$ , коммутативна следующая диаграмма:

$\begin{diagram}\node{\mathcal{F}(U)}\arrow{e,t}{\varphi(U)}\arrow{s,l}{\rho_{UV}} \node{\mathcal{G}(U)}\arrow{s,r}{\rho'_{UV}}\\\node{\mathcal{F}(V)}\arrow{e,t}{\varphi(V)} \node{\mathcal{G}(V),}\end{diagram}$

где $\rho$ и $\rho'$ — отображения ограничения для $\mathcal{F}$ и $\mathcal{G}$ соответственно. Морфизм $\varphi$ называется изоморфимом предпучков, если для него существуют левый и правый обратные морфизмы.

Определение 2. Пусть $\varphi:\mathcal{F}\rightarrow\mathcal{G}$ — морфизм предпучков на топологическом пространстве $(X,\tau)$ . Тогда

ядром морфизма $\varphi$ называется предпучок $\textrm{ker}~\varphi=\mathcal{F}_1$ , определенный формулой $\mathcal{F}_1(U)=\textrm{ker}(\varphi(U))$ ;
коядром морфизма $\varphi$ называется предпучок $\textrm{coker}~\varphi=\mathcal{F}_2$ , определенный формулой $\mathcal{F}_2(U)=\textrm{coker}(\varphi(U))$ ;
образом морфизма $\varphi$ называется предпучок $\textrm{im}~\varphi=\mathcal{F}_3$ , определенный формулой $\mathcal{F}_3(U)=\textrm{im}(\varphi(U))$ .

Морфизм пучков

Определение 3. Пусть $\mathcal{F}$ и $\mathcal{G}$ — пучки на топологическом пространстве $(X,\tau)$ . Тогда морфизм предпучков $\mathcal{F}$ и $\mathcal{G}$ называется морфизмом пучков²⁾.

Определение 4. Пусть $\varphi\colon\mathcal{F}\rightarrow\mathcal{G}$ — морфизм пучков на топологическом пространстве $(X,\tau)$ . Тогда

ядром морфизма $\varphi$ называется пучок $\textrm{ker}~\varphi$ ;
коядром морфизма $\varphi$ называется пучок, ассоциированный с предпучком $\textrm{coker}~\varphi$ ;
образом морфизма $\varphi$ называется пучок, ассоциированный с предпучком $\textrm{im}~\varphi$ .

Определение 5. Морфизм пучков $\varphi\colon\mathcal{F}\rightarrow\mathcal{G}$ называют инъективным, если $\textrm{ker}~\varphi=0$ , и сюръективным, если $\textrm{im}~\varphi=\mathcal{G}$ .

Морфизм предпучков $\varphi:\mathcal{F}\rightarrow\mathcal{G}$ индуцирует морфизм слоев $\varphi_P:\mathcal{F}_P\rightarrow\mathcal{G}_P$ по правилу: $\varphi_P(\langle U,s\rangle)=\langle U,\varphi(U)(s)\rangle$ , где $\langle U,s\rangle$ представляет некоторый слой.

Предложение 1. Морфизм пучков $\varphi:\mathcal{F}\rightarrow\mathcal{G}$ на топологическом пространстве $(X,\tau)$ тогда и только тогда является изоморфизмом, когда индуцированный им морфизм слоев $\varphi_P:\mathcal{F}_P\rightarrow\mathcal{G}_P$ является изоморфизмом для каждой точки $P\in X$ .

Прямой и обратный образы пучка

Пусть $\varphi\colon X\rightarrow Y$ — непрерывное отображение топологических пространств.

Определение 6. Для произвольного пучка $\mathcal{F}$ на $X$ определен пучок $\varphi_*\mathcal{F}$ на пространстве $Y$ , который каждому открытому подмножеству $U\subseteq Y$ ставит в соответствие абелеву группу(кольцо, алгебру) $\mathcal{F}(\varphi^{-1}(U))$ . Пучок $\varphi_*\mathcal{F}$ называется прямым образом пучка $\mathcal{F}$ .

Определение 7. Для каждого пучка $\mathcal{G}$ на $Y$ определен пучок $\varphi^{-1}\mathcal{G}$ такой, что $\varphi^{-1}\mathcal{G}(U)=\varinjlim_{V\supseteq \varphi(U)}\mathcal{G}(V)$ для каждого открытого $U\subseteq X$ . Такой пучок называется обратным образом пучка $\mathcal{G}$ .