Гомоморфизм алгебр
Определение
Определение 1. Пусть даны произвольные алгебры и
над ассоциативным кольцом
. Отображение
называется гомоморфизмом алгебр1), если:
для любых
,
В частности, если и
— алгебры Ли, то отображение
— гомоморфизм алгебр Ли2), если
-линейно,
для любых
.
Пример 1. Рассмотрим алгебру многочленов от одной переменной над полем
и зафиксируем скаляр
. Отображение
, ставящее многочлену
его значение в точке
, является гомоморфизмом
-алгебр.
Ядро и образ гомоморфизма
Определение 2. Ядро3) и образ4)
гомоморфизма алгебр
— это, соответственно, ядро и образ отображения
, рассматриваемого как гомоморфизм модулей, то есть
и
.
Предложение 1. Ядро гомоморфизма алгебр является идеалом алгебры
.
Предложение 2. Образ гомоморфизма алгебр является подалгеброй алгебры
.
Литература
1)
algebra homomorphism
2)
Lie algebra homomorphism
3)
kernel of algebra homomorphism
4)
image of algebra homomorphism