Гомоморфизм алгебр

Определение

Определение 1. Пусть даны произвольные алгебры $(A,+_A,\cdot_A)$ и $(B,+_B,\cdot_B)$ над ассоциативным кольцом $R$. Отображение $\varphi\colon A\rightarrow B$ называется гомоморфизмом алгебр1), если:

  1. $\varphi(x\cdot_Ay)=\varphi(x)\cdot_B\varphi(y)$ для любых $x,y\in A$,
  2. если алгебры $ A $ и $ B $ обладают единицей, то $\varphi(1_A)=1_B$.

В частности, если $A$ и $B$алгебры Ли, то отображение $\varphi\colon A\rightarrow B$гомоморфизм алгебр Ли2), если

  1. $\varphi$ $R$-линейно,
  2. $\varphi([x,y])=[\varphi(x),\varphi(y)]$ для любых $x,y\in A$.

Пример 1. Рассмотрим алгебру $F[T]$ многочленов от одной переменной над полем $F$ и зафиксируем скаляр $\alpha\in F$. Отображение $F[T]\rightarrow F\colon f\mapsto f(\alpha)$, ставящее многочлену $f$ его значение в точке $\alpha$, является гомоморфизмом $F$-алгебр.

Ядро и образ гомоморфизма

Определение 2. Ядро3) $\textrm{ker}\varphi$ и образ4) $\textrm{im}\varphi$ гомоморфизма алгебр $\varphi\colon A\rightarrow B$ — это, соответственно, ядро и образ отображения $\varphi\colon A\rightarrow B$, рассматриваемого как гомоморфизм модулей, то есть

$\textrm{ker}\varphi=\{a\in A\vert\varphi(a)=0\}\subset A$

и

$\textrm{im}\varphi=\{b\in B\vert\exists a\in A:\varphi(a)=b\}\subset B$.

Предложение 1. Ядро гомоморфизма алгебр $\textrm{ker}\varphi$ является идеалом алгебры $A$.

Предложение 2. Образ гомоморфизма алгебр $\textrm{im}\varphi$ является подалгеброй алгебры $B$.

Литература

1) algebra homomorphism
2) Lie algebra homomorphism
3) kernel of algebra homomorphism
4) image of algebra homomorphism
glossary/morphism/algebra.txt · Последние изменения: 10.10.2011 14:50:45 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0