Гомоморфизм алгебр
Определение
Определение 1. Пусть даны произвольные алгебры 
и 
над ассоциативным кольцом 
. Отображение 
называется гомоморфизмом алгебр1), если:
для любых 
,
-
и 
,
и 
обладают 
.
В частности, если 
и 
— алгебры Ли, то отображение — гомоморфизм алгебр Ли2), если
-линейно,![$\varphi([x,y])=[\varphi(x),\varphi(y)]$](/lib/exe/fetch.php?cache=&media=latex%3A63b9a799425b9b06b6e79d3d7d75371b.png "$\varphi([x,y])=[\varphi(x),\varphi(y)]$")
для любых .
Пример 1. Рассмотрим алгебру ![$F[T]$](/lib/exe/fetch.php?cache=&media=latex%3A970d619ddcc295d8754b0272beadda2e.png "$F[T]$")
многочленов от одной переменной над полем 
и зафиксируем скаляр 
. Отображение ![$F[T]\rightarrow F\colon f\mapsto f(\alpha)$](/lib/exe/fetch.php?cache=&media=latex%3Aeaba1e091b2397ec2ce1d498989082a6.png "$F[T]\rightarrow F\colon f\mapsto f(\alpha)$")
, ставящее многочлену 
его значение в точке 
, является гомоморфизмом -алгебр.
Ядро и образ гомоморфизма
Определение 2. Ядро3) 
и образ4) 
гомоморфизма алгебр — это, соответственно, ядро и образ отображения , рассматриваемого как гомоморфизм модулей, то есть
и
.
Предложение 1. Ядро гомоморфизма алгебр является идеалом алгебры .
Предложение 2. Образ гомоморфизма алгебр является подалгеброй алгебры .
Литература
1)
algebra homomorphism
2)
Lie algebra homomorphism
3)
kernel of algebra homomorphism
4)
image of algebra homomorphism
