Поле частных целостного кольца

Определение

Пусть $A$ — коммутативная область целостности. Положим $A^*=A\backslash\{0\}$ .

Определение 1. Рассмотрим множество упорядоченных пар $A\times A^*=\{(n,m)|n\in A,m\in A^*\}$ . Две упорядоченные пары $(n,m)$ и $(s,t)$ будем считать эквивалентными, если $nt=ms$ . Множество классов эквивалентности на $A\times A^*$ обозначим через $Q(A)$ . Определим на $Q(A)$ операции сложения $+$ и умножения $\cdot$ по правилу:

$\overline{(n,m)}\cdot\overline{(s,t)}=\overline{(ns,mt)}$ ,
$\overline{(n,m)}+\overline{(s,t)}=\overline{(nt+ms,mt)}$ ,

где $\overline{(n,m)}$ обозначает класс эквивалентности элемента $(n,m)$ . Множество $Q(A)$ с указанными операциями будем называть полем отношений, или полем частных¹⁾ кольца $A$ .

Предложение 1. Построенный в определении 1 объект $Q(A)$ является полем, нулевой элемент которого равен $\overline{(0,1)}$ , а единичный — $\overline{(1,1)}$ .