Содержание
Морфизм пучков
проверено. неплохо было бы пояснить про левые и правые обратные морфизмы
Морфизм предпучков
Определение 1. Пусть и
— предпучки на топологическом пространстве
. Морфизмом
предпучков1)
и
на
называется набор морфизмов абелевых групп (колец, алгебр)
, причем для произвольных множеств
таких, что
, коммутативна следующая диаграмма:
где и
— отображения ограничения для
и
соответственно. Морфизм
называется изоморфимом предпучков, если для него существуют левый и правый обратные морфизмы.
Определение 2. Пусть — морфизм предпучков на топологическом пространстве
. Тогда
- ядром морфизма
называется предпучок
, определенный формулой
;
- коядром морфизма
называется предпучок
, определенный формулой
;
- образом морфизма
называется предпучок
, определенный формулой
.
Морфизм пучков
Определение 3. Пусть и
— пучки на топологическом пространстве
. Тогда морфизм предпучков
и
называется морфизмом пучков2).
Определение 4. Пусть — морфизм пучков на топологическом пространстве
. Тогда
- ядром морфизма
называется пучок
;
- образом морфизма
называется пучок, ассоциированный с предпучком
.
Определение 5. Морфизм пучков называют инъективным, если
, и сюръективным, если
.
Морфизм предпучков индуцирует морфизм слоев
по правилу:
, где
представляет некоторый слой.
Предложение 1. Морфизм пучков на топологическом пространстве
тогда и только тогда является изоморфизмом, когда индуцированный им морфизм слоев
является изоморфизмом для каждой точки
.
Прямой и обратный образы пучка
Пусть — непрерывное отображение топологических пространств.
Определение 6. Для произвольного пучка на
определен пучок
на пространстве
, который каждому открытому подмножеству
ставит в соответствие абелеву группу(кольцо, алгебру)
. Пучок
называется прямым образом пучка
.
Определение 7. Для каждого пучка на
определен пучок
такой, что
для каждого открытого
. Такой пучок называется обратным образом пучка
.