Содержание
Радикал Джекобсона
Левый радикал Джекобсона
Определение 1. Левым радикалом Джекобсона1) ассоциативного кольца
называется совокупность элементов из
, которые аннулируют все неприводимые левые
-модули, или само кольцо, если неприводимых левых
-модулей не существует. Если
обозначает аннулятор левого модуля
, то по определению
,
где пробегает все возможные неприводимые левые
-модули.
Поскольку аннуляторы — двусторонние идеалы в
2), то
является двусторонним идеалом.
Теорема 1. , где
пробегает все регулярные максимальные левые идеалы кольца
, а
— наибольший двусторонний идеал из
, лежащий в
.
Лемма. Пусть — ассоциативное кольцо, тогда собственный регулярный левый идеал
содержится в некотором максимальном левом идеале
, причем
регулярен.
Теорема 2. Пусть — ассоциативное кольцо и
его левый радикал Джекобсона, тогда
- идеал
лево-квазирегулярен;
- если
— лево-квазирегулярный левый идеал кольца
, то
.
Теорема 3. , где
пробегает все максимальные регулярные левые идеалы кольца
.
Следствие 1. — единственный максимальный лево-квазирегулярный левый идеал в
.
Правый радикал Джекобсона
Определение 2. Правым радикалом Джекобсона7) ассоциативного кольца
называется совокупность элементов из
, которые аннулируют все неприводимые правые
-модули, или само кольцо, если неприводимых правых
-модулей не существует. Если
обозначает аннулятор правого модуля
, то по определению
,
где пробегает все возможные неприводимые правые
-модули.
Поскольку аннуляторы — двусторонние идеалы в
8), то
является двусторонним идеалом.
Теорема 4. , где
пробегает все максимальные регулярные правые идеалы кольца
, а
— наибольший двусторонний идеал из
, лежащий в
.
Теорема 5. , где
пробегает все максимальные регулярные правые идеалы кольца
.
Теорема 6. Пусть — ассоциативное кольцо и
его правый радикал Джекобсона, тогда
- идеал
право-квазирегулярен;
- если
— право-квазирегулярный правый идеал кольца
, то
.
Следствие 2. — единственный максимальный право-квазирегулярный правый идеал в
.
Радикал Джекобсона
Предложение 1. Пусть — ассоциативное кольцо, тогда
.
Определение 3. Идеал называется радикалом Джекобсона9) или квазирегулярным радикалом10) ассоциативного кольца
.
Предложение 2. Если — идеал ассоциативного кольца
, то
.
Теорема 7. Правило , сопоставляющее ассоциативному кольцу
его радикал Джекобсона
, является радикалом(в смысле Куроша), то есть выполнено:
Теорема 8. .
Пример 1. . Действительно, в кольце целых чисел
каждый идеал регулярный11). Все максимальные идеалы имеют вид
, где
— простое число. Значит,
.
Смотри также
Литература
- Андрунакиевич В.А., Рябухин Ю.М. «Радикалы алгебр и структурная теория», Наука, 1979.
- Херстейн И. «Некоммутативные кольца», Мир, 1972.