Содержание

Радикал Джекобсона

Радикал Джекобсона

Левый радикал Джекобсона

Определение 1. Левым радикалом Джекобсона¹⁾ $J_l(R)$ ассоциативного кольца $R$ называется совокупность элементов из $R$ , которые аннулируют все неприводимые левые $R$ -модули, или само кольцо, если неприводимых левых $R$ -модулей не существует. Если $A(M)$ обозначает аннулятор левого модуля $M$ , то по определению

$J_l(R)=\underset{M}{\bigcap}A(M)$ ,

где $M$ пробегает все возможные неприводимые левые $R$ -модули.

Поскольку аннуляторы $A(M)$ — двусторонние идеалы в $R$ ²⁾, то $J_l(R)$ является двусторонним идеалом.

Теорема 1. $J_l(R)=\underset{\rho}{\bigcap}(\rho:R)$ , где $\rho$ пробегает все регулярные максимальные левые идеалы кольца $R$ , а $(\rho:R)$ — наибольший двусторонний идеал из $R$ , лежащий в $\rho$ .

Доказательство.

Пусть $J_l(R)=\underset{M}{\bigcap}A(M)$ — левый радикал Джекобсона, тогда $M$ — неприводимый левый $R$ -модуль, поэтому³⁾ $M=R/\rho$ для некоторого регулярного максимального левого идеала. В этом случае $A(M)$ состоит из таких элементов $x\in R$ , что $x(R/\rho)=0$ или, что то же самое, $xR\subseteq\rho$ , то есть $x\in(\rho:R)$ ⁴⁾. Обратно, пусть $x\in(\rho:R)$ , тогда $xR\subseteq\rho$ , поэтому на фактормодуле $R/\rho$ элемент $x$ действует тривиально⁵⁾, а значит, $x\in A(M)$ . Таким образом, $A(M)=(\rho:R)$ для некоторого регулярного максимального левого идеала. Кроме того $(\rho:R)$ двусторонний, так как $A(M)$ двусторонний.

Заметим, что из регулярности $\rho$ следует, что $(\rho:R)\subseteq\rho$ , так как найдется $a\in R$ такое, что $x-xa\in\rho$ для всех $x\in(\rho:R)$ . Но если $x\in(\rho:R)$ , то $xa\in\rho$ , а значит, $x\in\rho$ .

Остается показать, что $(\rho:R)$ — максимальный двусторонний идеал, содержащийся в $\rho$ . Пусть $\rho_1$ — двусторонний идеал кольца $R$ , содержащийся в $\rho$ . Тогда $\rho_1R\subseteq\rho_1\subseteq\rho$ , то есть $\rho_1\subseteq(\rho:R)$ . $\blacksquare$

Лемма. Пусть $R$ — ассоциативное кольцо, тогда собственный регулярный левый идеал $\rho\subset R$ содержится в некотором максимальном левом идеале $\rho_0$ , причем $\rho_0$ регулярен.

Доказательство.

Пусть $\rho$ — левый регулярный идеал, то есть $\{x-xa|x\in R\}\subseteq\rho$ для некоторого $a\in R$ . Рассмотрим множество $\mathfrak{R}$ всех собственных левых идеалов, содержащих $\rho$ . Оно частично упорядочено. Кроме того, никакой идеал $\rho_1\in\mathfrak{R}$ не содержит $a$ , иначе $Ra\in\rho_1$ , и $R=\rho_1$ . Поэтому $\mathfrak{R}$ индуктивно упорядочено, и по лемме Цорна существует максимальный собственный левый идеал $\rho_0$ , содержащий $\rho$ . Очевидно, он регулярен, так как $\{x-xa|x\in R\}\subseteq\rho\subseteq\rho_0$ .

Теорема 2. Пусть $R$ — ассоциативное кольцо и $J_l(R)$ его левый радикал Джекобсона, тогда

идеал $J_l(R)$ лево-квазирегулярен;
если $\rho$ — лево-квазирегулярный левый идеал кольца $R$ , то $\rho\subseteq J_l(R)$ .

Доказательство.

1. Обозначим $\underset{\rho}{\bigcap}\rho$ , где $\rho$ пробегает все регулярные максимальные левые идеалы кольца $R$ , через $\tau$ . Согласно теореме 1, $J_l(R)=\underset{\rho}{\bigcap}(\rho:R)$ , где $\rho$ пробегает все регулярные максимальные левые идеалы кольца $R$ , и $(\rho:R)\subseteq\rho$ , откуда $J_l(R)\subseteq\tau$ .

Покажем, что множество $\rho_x=\{y+yx|y\in R\}$ для произвольного $x\in\tau$ совпадает с $R$ . Очевидно, что $\rho_x$ — левый идеал в $R$ . Более того, $\rho_x$ регулярный левый идеал, так как для любого $y\in R$ элемент $y-y(-x)$ лежит в $\rho_x$ . Предположим, что $\rho_x$ собственный, тогда он содержится в некотором максимальном левом идеале $\rho_*$ , который является регулярным. Поэтому в частности $x\in\rho_*$ , откуда $yx\in\rho_*$ для любого $y\in R$ . Поскольку $y+yx\in\rho_x\subseteq\rho_*$ , то $y\in\rho_*$ , то есть $\rho_*=R$ — противоречие.

Итак, мы показали, что $\{y+yx|y\in R\}=R$ . Тогда найдется такой $y\in R$ , что $y+yx=-x$ , то есть $x+y+yx=0$ для произвольно выбранного $x\in\tau$ . Лево-квазирегулярность $\tau$ , а значит, и $J_l(R)$ , доказана.

2. Пусть найдется лево-квазирегулярный левый идеал $\rho$ , не содержащийся в $J_l(R)$ . Это означает, что $\rho\not\subset A(M)$ , то есть $\rho M\neq0$ для некоторого неприводимого $R$ -модуля $M$ . Тогда можно выбрать $m\in M$ , чтобы $\rho m\neq0$ . Поскольку $\rho m$ — ненулевой $R$ -подмодуль в неприводимом модуле $M$ , то $\rho m=M$ . Следовательно, $rm=-m$ для некоторого $r\in\rho$ .

В силу того, что $\rho$ — лево-квазирегулярный, для выбранного ранее $r\in\rho$ найдется такой $a\in R$ , что $a+r+ar=0$ . Тогда $0=(a+r+ar)m=am+rm+arm=am-m-am=-m$ , откуда $\rho m=0$ . Получили противоречие, которое доказывает, что $\rho\subseteq J_l(R)$ . $\blacksquare$

Теорема 3. $J_l(R)=\underset{\rho}{\bigcap}\rho$ , где $\rho$ пробегает все максимальные регулярные левые идеалы кольца $R$ .

Доказательство.

Это прямое следствие доказательства теоремы 2. Действительно, из п.1 доказательства следует, что $\underset{\rho}{\bigcap}\rho$ лево-квазирегулярный идеал, поэтому $\underset{\rho}{\bigcap}\rho\subseteq J_l(R)$ . Из теоремы 1 следует обратное включение $J_l(R)\subseteq\underset{\rho}{\bigcap}\rho$ ⁶⁾. $\blacksquare$

Следствие 1. $J_l(R)$ — единственный максимальный лево-квазирегулярный левый идеал в $R$ .

Правый радикал Джекобсона

Определение 2. Правым радикалом Джекобсона⁷⁾ $J_r(R)$ ассоциативного кольца $R$ называется совокупность элементов из $R$ , которые аннулируют все неприводимые правые $R$ -модули, или само кольцо, если неприводимых правых $R$ -модулей не существует. Если $A(M)$ обозначает аннулятор правого модуля $M$ , то по определению

$J_r(R)=\underset{M}{\bigcap}A(M)$ ,

где $M$ пробегает все возможные неприводимые правые $R$ -модули.

Поскольку аннуляторы $A(M)$ — двусторонние идеалы в $R$ ⁸⁾, то $J_r(R)$ является двусторонним идеалом.

Теорема 4. $J_r(R)=\underset{\rho}{\bigcap}(\rho:R)$ , где $\rho$ пробегает все максимальные регулярные правые идеалы кольца $R$ , а $(\rho:R)$ — наибольший двусторонний идеал из $R$ , лежащий в $\rho$ .

Теорема 5. $J_r(R)=\underset{\rho}{\bigcap}\rho$ , где $\rho$ пробегает все максимальные регулярные правые идеалы кольца $R$ .

Теорема 6. Пусть $R$ — ассоциативное кольцо и $J_r(R)$ его правый радикал Джекобсона, тогда

идеал $J_r(R)$ право-квазирегулярен;
если $\rho$ — право-квазирегулярный правый идеал кольца $R$ , то $\rho\subseteq J_r(R)$ .

Следствие 2. $J_r(R)$ — единственный максимальный право-квазирегулярный правый идеал в $R$ .

Радикал Джекобсона

Предложение 1. Пусть $R$ — ассоциативное кольцо, тогда $J_l(R)=J_r(R)$ .

Доказательство.

Заметим еще раз, что $J_l(R)$ и $J_r(R)$ — двусторонние идеалы. Поэтому из следствия 1 и предложения 3 следует, что $J_l(R)$ — право-квазирегулярный правый идеал, а значит, по следствию 2 $J_l(R)\subseteq J_r(R)$ . Аналогично из предложения 4 и следствий 1 и 2 имеем обратное включение $J_r(R)\subseteq J_l(R)$ . $\blacksquare$

Определение 3. Идеал $J(R)=J_l(R)=J_r(R)$ называется радикалом Джекобсона⁹⁾ или квазирегулярным радикалом¹⁰⁾ ассоциативного кольца $R$ .

Предложение 2. Если $A$ — идеал ассоциативного кольца $R$ , то $J(A)=J(R)\cap A$ .

Доказательство.

Докажем сначала, что идеал $I$ полупростого кольца $R$ полупрост. Пусть $J(I)\neq0$ , тогда $I_1=RJ(I)$ — левый идеал кольца $R$ . Заметим, что $I_1\neq 0$ , иначе $RJ(I)=0$ , то есть $J(I)$ — нильпотентный левый идеал в $R$ и по следствию 1 $J(I)\subseteq J(R)=0$ . По той же причине $I_1^2\neq 0$ . Но $I_1^2=RJ(I)RJ(I)\subseteq IJ(I)\subseteq J(I)$ . Таким образом левый идеал $I_1^2$ в $R$ содержит квазирегулярные элементы, поэтому в силу полупростоты $I_1^2=0$ — противоречие с тем, что $J(I)\neq 0$ .

Идеал $J(R)\cap A$ по теореме 3 состоит из лево-квазирегулярных элементов, то есть для любого $a\in J(R)\cap A$ найдется $a'\in R$ такой, что $a+a'+a'a=0$ . Так как $a\in A$ и $a'a\in A$ , то $a'=-a-a'a\in A$ . Следовательно, $a$ лево-квазирегулярен в $A$ , откуда $J(R)\cap A\subseteq J(A)$ .

Обратно, так как $J(R)$ — двусторонний идеал, то каноническая проекция $\pi\colon R\rightarrow R/J(R)$ является гомоморфизмом колец. Образ идеала $A$ , $\pi(A)=A/A\cap J(R)$ — идеал в $R/J(R)$ . Из того, что $R/J(R)$ полупросто (по п.1 теоремы 7) следует, что $\pi(A)$ полупросто. Тогда $\pi(J(A))=0$ , то есть $J(A)\subseteq A\cap J(R)$ . $\blacksquare$

Теорема 7. Правило $J$ , сопоставляющее ассоциативному кольцу $R$ его радикал Джекобсона $J(R)$ , является радикалом(в смысле Куроша), то есть выполнено:

$J(J(R))=J(R)$
$J(R/J(R))=0$
для любого гомоморфизма ассоциативных колец $\varphi\colon R\rightarrow S$ выполнено включение $\varphi(J(R))\subseteq J(\varphi(R))$

Доказательство.

1. Равенство $J(J(R))=J(R)$ следует из предложения 2, если положить $A=J(R)$ .

2. Каноническая проекция $R\rightarrow R/J(R)$ каждому максимальному регулярному левому идеалу $\rho\subset R$ ставит в соответствие максимальный левый идеал $\overline{\rho}\subseteq R/J(R)$ , поскольку $\rho\supset J(R)$ . Идеал $\rho$ также регулярен, так как соотношение $x-xa\in\rho$ влечет $\overline{x}-\overline{x}\overline{a}\in\overline{\rho}$ . В силу теоремы 2 радикал Джекобсона — это пересечение всех регулярных максимальных левых идеалов в $R$ : $J(R)=\cap\rho$ , но тогда $0=\cap\overline{\rho}$ — пересечение некоторых максимальных регулярных левых идеалов кольца $R/J(R)$ , а значит, оно содержит радикал Джекобсона этого кольца. Откуда $J(R/J(R))=0$ .

3. Можно считать, что $\varphi$ — эпиморфизм. Пусть $J(S)=\cap\tau$ — пересечение максимальных регулярных левых идеалов в $S$ . Прообраз $\varphi^{-1}(\tau)$ — максимальный регулярный левый идеал. Таким образом $J(R)\subseteq\cap\varphi^{-1}(\tau)$ , а значит, $\varphi(J(R))\subseteq\cap\tau=J(S)$ . $\blacksquare$

Теорема 8. $J(\textrm{Mat}_n(R))=\textrm{Mat}_n(J(R))$ .

Пример 1. $J(\mathbb{Z})=0$ . Действительно, в кольце целых чисел $\mathbb{Z}$ каждый идеал регулярный¹¹⁾. Все максимальные идеалы имеют вид $p\mathbb{Z}$ , где $p$ — простое число. Значит, $J(\mathbb{Z})=\underset{p}{\bigcap}p\mathbb{Z}=0$ .