Точный модуль

Аннулятор модуля

Пусть $R$ассоциативное кольцо и $M$левый модуль1) над $R$.

Определение 1. Аннулятором модуля2) $M$ в $R$ называется множество

$A(M)=\textrm{Ann}_R(M)=\{x\in R\vert xM=0\}$.3)

Пример 1. Если $M$ — тривиальный $R$-модуль, тогда $A(M)=R$.

Точный модуль

Определение 2. Говорят, что $M$точный $ R $-модуль4), или что $R$ действует на $M$ точно, если $A(M)=0$.

Предложение 1. $A(M)$двусторонний идеал кольца $R$. Кроме того, $M$ — точный $R/A(M)$-модуль.

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

Пусть $a\in A(M)$, тогда для любого $x\in R$ имеем

$(xa)M\subset x\cdot0=0$ и $(ax)M\subset aM=0$,

откуда следует, что $A(M)$ — двусторонний идеал.

Определим структуру левого $R/A(M)$-модуля на $M$ по правилу:

$\overline{x}m=xm$ для любого $\overline{x}\in R/A(M)$ и $m\in M$.

Это действие корректно определено, так как если $y$ — другой представитель класса $\overline{x}$, то $x-y\in A(M)$, откуда $(x-y)m=0$, а значит, $\overline{x}m=\overline{y}m$.

Пусть $\overline{x}\in R/A(M)$, причем $\overline{x}M=0$. Последнее означает, что $xM=0$, то есть $x\in A(M)$, поэтому $\overline{x}=0$.

Предложение 2. Факторкольцо $R/A(M)$ изоморфно подкольцу кольца эндоморфизмов абелевой группы $\textrm{End}_{\mathbb{Z}}(M)$.

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

Рассмотрим отображение $T\colon R\rightarrow\textrm{End}_{\mathbb{Z}}(M)\colon a\mapsto T_a$, где $T_a$ — эндоморфизм абелевой группы $M$, определенный правилом $T_a(m)=a\cdot m$. Очевидно, что $T$гомоморфизм колец, следовательно, $\textrm{im}~T$ — подкольцо. Кроме того, $\textrm{ker}~T=A(M)$.

Следствие 1. Пусть $M$ — точный левый $R$-модуль, тогда $R$ можно рассматривать как подкольцо кольца $\textrm{End}_{\mathbb{Z}}(M)$.

См. также

Литература

  • Херстейн И. «Некоммутативные кольца», Мир, 1972.
1) или правый
2) module annihilator
3) Для правого модуля $M$ аннулятором называется множество $A(M)=\textrm{Ann}_R(M)=\{x\in R\vert Mx=0\}$.
4) faithful module
glossary/module/faithful.txt · Последние изменения: 10.10.2011 14:13:27 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0