Точный модуль

Аннулятор модуля

Пусть $R$ — ассоциативное кольцо и $M$ — левый модуль¹⁾ над $R$ .

Определение 1. Аннулятором модуля²⁾ $M$ в $R$ называется множество

$A(M)=\textrm{Ann}_R(M)=\{x\in R\vert xM=0\}$ .³⁾

Пример 1. Если $M$ — тривиальный $R$ -модуль, тогда $A(M)=R$ .

Точный модуль

Определение 2. Говорят, что $M$ — точный $R$ -модуль⁴⁾, или что $R$ действует на $M$ точно, если $A(M)=0$ .

Предложение 1. $A(M)$ — двусторонний идеал кольца $R$ . Кроме того, $M$ — точный $R/A(M)$ -модуль.

Доказательство.

Пусть $a\in A(M)$ , тогда для любого $x\in R$ имеем

$(xa)M\subset x\cdot0=0$ и $(ax)M\subset aM=0$ ,

откуда следует, что $A(M)$ — двусторонний идеал.

Определим структуру левого $R/A(M)$ -модуля на $M$ по правилу:

$\overline{x}m=xm$ для любого $\overline{x}\in R/A(M)$ и $m\in M$ .

Это действие корректно определено, так как если $y$ — другой представитель класса $\overline{x}$ , то $x-y\in A(M)$ , откуда $(x-y)m=0$ , а значит, $\overline{x}m=\overline{y}m$ .

Пусть $\overline{x}\in R/A(M)$ , причем $\overline{x}M=0$ . Последнее означает, что $xM=0$ , то есть $x\in A(M)$ , поэтому $\overline{x}=0$ .

Предложение 2. Факторкольцо $R/A(M)$ изоморфно подкольцу кольца эндоморфизмов абелевой группы $\textrm{End}_{\mathbb{Z}}(M)$ .

Доказательство.

Рассмотрим отображение $T\colon R\rightarrow\textrm{End}_{\mathbb{Z}}(M)\colon a\mapsto T_a$ , где $T_a$ — эндоморфизм абелевой группы $M$ , определенный правилом $T_a(m)=a\cdot m$ . Очевидно, что $T$ — гомоморфизм колец, следовательно, $\textrm{im}~T$ — подкольцо. Кроме того, $\textrm{ker}~T=A(M)$ .