Содержание
Квазирегулярный идеал
Квазирегулярные элементы
Пусть — ассоциативное кольцо и
— некоторый его элемент.
Определение 1. Элемент называется лево-квазирегулярным1), если существует такой элемент
, что
. Элемент
называется левым квазиобратным2) для
.
Определение 2. Элемент называется право-квазирегулярным3), если существует такой элемент
, что
. Элемент
называется правым квазиобратным4) для
.
Предложение 1. Пусть элемент лево-квазирегуляный с левым квазиобратным
и право-квазирегулярный с правым квазиобратным
. Тогда
.
Определение 3. Элемент называется квазирегулярным5), если он одновременно лево-квазирегулярный и право-квазирегулярный. Элемент
, совпадающий6) с его левым и правым квазиобратными, называется квазиобратным7) для
.
Предложение 2. Пусть кольцо имеет единицу, тогда
- элемент
право-квазирегулярен тогда и только тогда, когда
обратим справа в
;
- элемент
квазирегулярен тогда и только тогда, когда
обратим в
.
Квазирегулярные идеалы
Определение 4. Идеал (левый, правый, двусторонний) называется лево-квазирегулярным, если таким является каждый его элемент.
Определение 5. Идеал (левый, правый, двусторонний) называется право-квазирегулярным, если таким является каждый его элемент.
Определение 6. Идеал (левый, правый, двусторонний) называется квазирегулярным, если таким является каждый его элемент.
Предложение 3. Если левый идеал лево-квазирегулярный, то он квазирегулярный.
Предложение 4. Если правый идеал право-квазирегулярный, то он квазирегулярный.
См. также
Литература
- Херстейн И. «Некоммутативные кольца», Мир, 1972.