Квазирегулярный идеал

Квазирегулярные элементы

Пусть $ R $ассоциативное кольцо и $a\in R$ — некоторый его элемент.

Определение 1. Элемент $a\in R$ называется лево-квазирегулярным1), если существует такой элемент $a'\in R$, что $a+a'+a'a=0$. Элемент $a'$ называется левым квазиобратным2) для $a$.

Определение 2. Элемент $a\in R$ называется право-квазирегулярным3), если существует такой элемент $a'\in R$, что $a+a'+aa'=0$. Элемент $a'$ называется правым квазиобратным4) для $a$.

Предложение 1. Пусть элемент $a\in R$ лево-квазирегуляный с левым квазиобратным $x$ и право-квазирегулярный с правым квазиобратным $y$. Тогда $x=y$.

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

Из соотношений $a+x+xa=0$ и $a+y+ay=0$ следует, что $ay+xy+xay=0$ и $xa+xy+xay=0$, откуда $xa=ay$. Так как $a+x+xa=a+y+ay$, то $x=y$. $\blacksquare$

Определение 3. Элемент $a\in R$ называется квазирегулярным5), если он одновременно лево-квазирегулярный и право-квазирегулярный. Элемент $a'$, совпадающий6) с его левым и правым квазиобратными, называется квазиобратным7) для $a$.

Предложение 2. Пусть кольцо $R$ имеет единицу, тогда

  1. элемент $a\in R$ лево-квазирегулярен тогда и только тогда, когда $1+a$ обратим слева в $R$;
  2. элемент $a\in R$ право-квазирегулярен тогда и только тогда, когда $1+a$ обратим справа в $R$;
  3. элемент $a\in R$ квазирегулярен тогда и только тогда, когда $1+a$ обратим в $R$.

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

В кольце с единицей соотношения $a+a'+a'a=0$ и $a+a'+aa'=0$ можно перегруппировать так, чтобы $(a'+1)(a+1)=1$ и $(a+1)(a'+1)=1$, соответственно, что доказывает предложение. $\blacksquare$

Квазирегулярные идеалы

Определение 4. Идеал (левый, правый, двусторонний) называется лево-квазирегулярным, если таким является каждый его элемент.

Определение 5. Идеал (левый, правый, двусторонний) называется право-квазирегулярным, если таким является каждый его элемент.

Определение 6. Идеал (левый, правый, двусторонний) называется квазирегулярным, если таким является каждый его элемент.

Предложение 3. Если левый идеал лево-квазирегулярный, то он квазирегулярный.

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

Пусть $\rho$ — лево-квазирегулярный левый идеал кольца $R$, и $x\in\rho$, тогда $x+a+ax=0$ для некоторого $a\in R$. Заметим, что $a\in\rho$, так как $x,ax\in\rho$. Поэтому $y+a+ya=0$ для некоторого $y\in R$. Мы видим, что $x$ — правый квазиобратный, а $y$ — левый квазиобратный для элемента $a$. По предложению 1 они совпадают, то есть $y=x$, и $x+a+xa=0$. Таким образом $x$ — право-квазирегулярный, а значит, квазирегулярный элемент. В силу произвольности выбора $x\in\rho$ лево-квазирегулярный идеал является квазирегулярным. $\blacksquare$

Предложение 4. Если правый идеал право-квазирегулярный, то он квазирегулярный.

См. также

Литература

  • Херстейн И. «Некоммутативные кольца», Мир, 1972.
1) left quasi-regular
2) left quasi-inverse
3) right quasi-regular
4) right quasi-inverse
5) quasi-regular
6) по предложению 1
7) quasi-inverse
glossary/ring/ideal/quasi-regular.txt · Последние изменения: 10.10.2011 04:57:11 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0