Содержание
Нильпотентный идеал
Определение
Пусть — ассоциативное кольцо и
некоторый его идеал (левый, правый или двусторонний).
Определение 1. Элемент называется нильпотентным1), если
для некоторого целого числа
.
Определение 2. Идеал (левый, правый или двусторонний) называется ниль-идеалом2), если каждый из его элементов нильпотентен.
Определение 3. Идеал (левый, правый или двусторонний) называется нильпотентным3), если существует целое число
такое, что
для любых
, то есть
.
Очевидно, что нильпотентный идеал является ниль-идеалом. Обратное, вообще говоря, не верно.
Предложение 1. Каждый нильпотентный элемент кольца квазирегулярен.
Следствие 1. Если — (левый, правый или двусторонний) ниль-идеал ассоциативного кольца
, то он содержится в радикале Джекобсона
.
Предложение 2. Пусть кольцо содержит ненулевой нильпотентный левый (правый) идеал, тогда
содержит ненулевой нильпотентный идеал.
Литература
- Херстейн И. «Некоммутативные кольца», Мир, 1972.