Содержание

Неприводимый модуль

Неприводимый модуль

Централизатор кольца на модуле

Пусть $R$ — ассоциативное кольцо и $M$ — левый¹⁾ $R$ -модуль.

Через $E(M)=\textrm{End}_\mathbb{Z}(M)$ обозначается множество всех эндоморфизмов абелевой группы $M$ . Для любых $\varphi,\psi\in E(M)$ определим их сумму $(\varphi+\psi)(m)=\varphi(m)+\psi(m)$ и произведение $(\varphi\cdot\psi)(m)=\varphi(\psi(m))$ . Относительно этих операций $E(M)$ является ассоциативным кольцом.

Для любого $a\in R$ отображение $T_a\colon M\rightarrow M\colon m\mapsto a\cdot m$ ²⁾ для всех $m\in M$ принадлежит $E(M)$ .

Определение 1. Централизатором кольца $R$ на модуле $M$ ³⁾ называется кольцо

$C(M)=\textrm{End}_R(M)=\{\varphi\in E(M)\vert T_a\circ\varphi=\varphi\circ T_a~\forall a\in R\}\subseteq E(M)$ ,

являющееся подкольцом $R$ -эндоморфизмов модуля $M$ в $E(M)$ .

Неприводимый левый модуль

Определение 2. Пусть $R$ — ассоциативное кольцо. Левый $R$ -модуль $M$ называется неприводимым⁴⁾, если $RM\neq 0$ и подмодулями модуля $M$ являются лишь $0$ и $M$ .

Пример 1. Пусть $R$ — ассоциативное кольцо и $\rho$ — минимальный (по включению) собственный левый идеал $R$ . Тогда идеал $\rho$ , рассматриваемый как левый модуль над $R$ — неприводим.

Лемма Шура. Если $M$ — неприводимый левый $R$ -модуль, то $C(M)$ — тело.

Доказательство.

Покажем, что любой ненулевой элемент $\theta\in C(M)$ имеет обратный в $C(M)$ . Достаточно показать, что $\theta$ обратим в $E(M)$ , так как если существует $\theta^{-1}\in E(M)$ , то из равенства $T_a\circ\theta=\theta\circ T_a$ следует, что $\theta^{-1}\circ T_a=T_a\circ\theta^{-1}$ , то есть $\theta^{-1}\in C(M)$ .
Пусть $\theta\in C(M)\backslash\{0\}$ и $W=\theta M$ , тогда для любого $r\in R$ имеем $rW=$ $T_rW=$ $T_r(\theta M)=$ $(T_r\theta)M=$ $(\theta T_r)M=$ $\theta(T_r M)\subseteq\theta M=W$ , то есть $W$ — подмодуль в $M$ . Так как $\theta\neq 0$ , то $\theta M\neq 0$ и из неприводимости модуля $M$ следует, что $M=\theta M$ , то есть $\theta$ — эпиморфизм.
В то же время $\theta$ — мономорфизм. В самом деле, легко видеть, что $\textrm{ker}~\theta$ — подмодуль модуля $M$ и не совпадает с $M$ , так как $\theta\neq 0$ . Следовательно, $\textrm{ker}~\theta=0$ . Будучи одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом, $\theta$ является изоморфизмом и обладает обратным $\theta^{-1}\in E(M)$ . $\blacksquare$

Предложение 1. $R$ -модуль $M$ неприводим тогда и только тогда, когда он изоморфен $R$ -модулю $R/\rho$ для некоторого регулярного максимального левого идеала $\rho$ в $R$ .

Доказательство.

Пусть модуль $M$ неприводим. Зафиксируем некоторый ненулевой элемент $m\in M$ , такой, что $Rm\neq 0$ ⁵⁾, и рассмотрим множество $Rm$ . Это подмодуль в $M$ . В силу неприводимости $Rm=M$ .

Определим отображение $\Psi\colon R\rightarrow M$ по правилу $\Psi(r)=r\cdot m$ . Ясно, что $\Psi$ — гомоморфизм $R$ -модулей. Пусть $\rho=\textrm{ker}~\Psi$ — левый $R$ -подмодуль в $R$ . Поэтому $R/\rho\cong M$ .

Покажем, что $\rho$ — максимальный левый идеал в $R$ . Каноническая проекция левых $R$ -модулей $R\rightarrow R/\rho$ индуцирует взаимно однозначное соответствие⁶⁾ между левыми идеалами в $R$ ⁷⁾, содержащими $\rho$ , и левыми $R$ -подмодулями в $R/\rho$ . В силу неприводимости $R/\rho$ единственный собственный левый идеал, содержащий $\rho$ , равен $\rho$ .

Остается показать, что $\rho$ регулярен. Из равенства $Rm=M$ следует, что для некоторого элемента $a\in R$

$a\cdot m=m$ .

Для любого $r\in R$ элемент $r-ra\in\rho$ , так как

$(r-ra)m=rm-r(am)=rm-rm=0$ для всех $m\in M$ .

Обратно, пусть $\rho$ — максимальный левый идеал в $R$ . Тогда $R/\rho$ неприводим снова в силу взаимно однозначного соответствия между левыми идеалами в $R$ , содержащими $\rho$ , и левыми $R$ -подмодулями в $R/\rho$ . $\blacksquare$

===== Неприводимый правый модуль ===== Определение 1. Пусть <latex> R </latex> — ассоциативное кольцо. Правый <latex> R </latex>-модуль <latex> M </latex> называется неприводимым⁸⁾, если <latex>MR\neq 0</latex> и подмодулями модуля <latex> M </latex> являются лишь <latex> 0 </latex> и <latex> M </latex>. Лемма Шура. Если <latex> M </latex> — неприводимый <latex> R </latex>-модуль, то <latex>C(M)</latex> — тело. <hidden onVisible=«Доказательство.» onHidden=«Доказательство.» initialState=«invisible»> Покажем, что любой ненулевой элемент <latex>\theta\in C(M)</latex> имеет обратный в <latex>C(M)</latex>. Достаточно показать, что <latex>\theta</latex> обратим в <latex>E(M)</latex>, так как если существует <latex>\theta^{-1}\in E(M)</latex>, то из равенства <latex>T_a\circ\theta=\theta\circ T_a</latex> следует, что <latex>\theta^{-1}\circ T_a=T_a\circ\theta^{-1}</latex>, то есть <latex>\theta^{-1}\in C(M)</latex>.
Пусть <latex>\theta\in C(M)\backslash\{0\}</latex> и <latex>W=\theta M</latex>, тогда <latex>\forall r\in R</latex> имеем <latex>Wr=</latex> <latex>T_rW=</latex> <latex>T_r(\theta M)=</latex> <latex>(T_r\theta)M=</latex> <latex>(\theta T_r)M=</latex> <latex>\theta(T_r M)\subseteq\theta M=W</latex>, то есть <latex> W </latex> — подмодуль в <latex> M </latex>. Так как <latex>\theta\neq 0</latex>, то <latex>\theta M\neq 0</latex> и из неприводимости модуля <latex> M </latex> следует, что <latex>M=\theta M</latex>, то есть <latex>\theta</latex> — эпиморфизм.
В то же время <latex>\theta</latex> — мономорфизм. В самом деле, легко видеть, что <latex>\textrm{ker}~\theta</latex> — подмодуль модуля <latex> M </latex> и не совпадает с <latex> M </latex>, так как <latex>\theta\neq 0</latex>. Следовательно, <latex>\textrm{ker}~\theta=0</latex>. Будучи одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом, <latex>\theta</latex> является изоморфизмом и обладает обратным <latex>\theta^{-1}\in E(M)</latex>. <latex>\blacksquare</latex> </hidden> Предложение 1. Если <latex> M </latex> — неприводимый <latex> R </latex>-модуль, то <latex> M </latex> изоморфен (как модуль) модулю <latex>R/\rho</latex> для некоторого максимального правого регулярного идеала <latex>\rho</latex> в <latex> R </latex>. Пример 1. Пусть <latex> R </latex> — ассоциативное кольцо и <latex>\rho</latex> — минимальный (по включению) правый идеал <latex> R </latex>. Тогда идеал <latex>\rho</latex>, рассматриваемый как правый модуль над <latex> R </latex> — неприводим.

См. также

Точный модуль

Литература

Херстейн И. «Некоммутативные кольца», Мир, 1972.

¹⁾ или правый

²⁾ $m\mapsto m\cdot a$ в случае правого модуля

³⁾ ring centralizer

⁴⁾ , ⁸⁾ irreducible module

⁵⁾ он существует по определению неприводимого модуля

⁶⁾ см. теорему о соответствии

⁷⁾ =левыми $R$ -подмодулями

glossary/module/irreducible.txt · Последние изменения: 10.10.2011 19:20:47 — ladilova

Наверх