Неприводимый модуль

Централизатор кольца на модуле

Пусть $R$ассоциативное кольцо и $M$левый1) $R$-модуль.

Через $E(M)=\textrm{End}_\mathbb{Z}(M)$ обозначается множество всех эндоморфизмов абелевой группы $M$. Для любых $\varphi,\psi\in E(M)$ определим их сумму $(\varphi+\psi)(m)=\varphi(m)+\psi(m)$ и произведение $(\varphi\cdot\psi)(m)=\varphi(\psi(m))$. Относительно этих операций $E(M)$ является ассоциативным кольцом.

Для любого $a\in R$ отображение $T_a\colon M\rightarrow M\colon m\mapsto a\cdot m$2) для всех $m\in M$ принадлежит $E(M)$.

Определение 1. Централизатором кольца $ R $ на модуле $ M $3) называется кольцо

$C(M)=\textrm{End}_R(M)=\{\varphi\in E(M)\vert T_a\circ\varphi=\varphi\circ T_a~\forall a\in R\}\subseteq E(M)$,

являющееся подкольцом $R$-эндоморфизмов модуля $M$ в $E(M)$.

Неприводимый левый модуль

Определение 2. Пусть $R$ассоциативное кольцо. Левый $R$-модуль $M$ называется неприводимым4), если $RM\neq 0$ и подмодулями модуля $M$ являются лишь $0$ и $M$.

Пример 1. Пусть $R$ — ассоциативное кольцо и $\rho$ — минимальный (по включению) собственный левый идеал $R$. Тогда идеал $\rho$, рассматриваемый как левый модуль над $R$ — неприводим.

Лемма Шура. Если $M$ — неприводимый левый $R$-модуль, то $C(M)$тело.

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

Покажем, что любой ненулевой элемент $\theta\in C(M)$ имеет обратный в $C(M)$. Достаточно показать, что $\theta$ обратим в $E(M)$, так как если существует $\theta^{-1}\in E(M)$, то из равенства $T_a\circ\theta=\theta\circ T_a$ следует, что $\theta^{-1}\circ T_a=T_a\circ\theta^{-1}$, то есть $\theta^{-1}\in C(M)$.
Пусть $\theta\in C(M)\backslash\{0\}$ и $W=\theta M$, тогда для любого $r\in R$ имеем $rW=$ $T_rW=$ $T_r(\theta M)=$ $(T_r\theta)M=$ $(\theta T_r)M=$ $\theta(T_r M)\subseteq\theta M=W$, то есть $W$ — подмодуль в $M$. Так как $\theta\neq 0$, то $\theta M\neq 0$ и из неприводимости модуля $M$ следует, что $M=\theta M$, то есть $\theta$ — эпиморфизм.
В то же время $\theta$ — мономорфизм. В самом деле, легко видеть, что $\textrm{ker}~\theta$ — подмодуль модуля $M$ и не совпадает с $M$, так как $\theta\neq 0$. Следовательно, $\textrm{ker}~\theta=0$. Будучи одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом, $\theta$ является изоморфизмом и обладает обратным $\theta^{-1}\in E(M)$. $\blacksquare$

Предложение 1. $R$-модуль $M$ неприводим тогда и только тогда, когда он изоморфен $R$-модулю $R/\rho$ для некоторого регулярного максимального левого идеала $\rho$ в $R$.

Доказательство.

Доказательство.

Доказательство.

Пусть модуль $M$ неприводим. Зафиксируем некоторый ненулевой элемент $m\in M$, такой, что $Rm\neq 0$5), и рассмотрим множество $Rm$. Это подмодуль в $M$. В силу неприводимости $Rm=M$.

Определим отображение $\Psi\colon R\rightarrow M$ по правилу $\Psi(r)=r\cdot m$. Ясно, что $\Psi$ — гомоморфизм $R$-модулей. Пусть $\rho=\textrm{ker}~\Psi$ — левый $R$-подмодуль в $R$. Поэтому $R/\rho\cong M$.

Покажем, что $\rho$ — максимальный левый идеал в $R$. Каноническая проекция левых $R$-модулей $R\rightarrow R/\rho$ индуцирует взаимно однозначное соответствие6) между левыми идеалами в $R$7), содержащими $\rho$, и левыми $R$-подмодулями в $R/\rho$. В силу неприводимости $R/\rho$ единственный собственный левый идеал, содержащий $\rho$, равен $\rho$.

Остается показать, что $\rho$ регулярен. Из равенства $Rm=M$ следует, что для некоторого элемента $a\in R$

$a\cdot m=m$.

Для любого $r\in R$ элемент $r-ra\in\rho$, так как

$(r-ra)m=rm-r(am)=rm-rm=0$ для всех $m\in M$.

Обратно, пусть $\rho$ — максимальный левый идеал в $R$. Тогда $R/\rho$ неприводим снова в силу взаимно однозначного соответствия между левыми идеалами в $R$, содержащими $\rho$, и левыми $R$-подмодулями в $R/\rho$. $\blacksquare$

===== Неприводимый правый модуль ===== Определение 1. Пусть <latex> R </latex> — ассоциативное кольцо. Правый <latex> R </latex>-модуль <latex> M </latex> называется неприводимым8), если <latex>MR\neq 0</latex> и подмодулями модуля <latex> M </latex> являются лишь <latex> 0 </latex> и <latex> M </latex>. Лемма Шура. Если <latex> M </latex> — неприводимый <latex> R </latex>-модуль, то <latex>C(M)</latex> — тело. <hidden onVisible=«Доказательство.» onHidden=«Доказательство.» initialState=«invisible»> Покажем, что любой ненулевой элемент <latex>\theta\in C(M)</latex> имеет обратный в <latex>C(M)</latex>. Достаточно показать, что <latex>\theta</latex> обратим в <latex>E(M)</latex>, так как если существует <latex>\theta^{-1}\in E(M)</latex>, то из равенства <latex>T_a\circ\theta=\theta\circ T_a</latex> следует, что <latex>\theta^{-1}\circ T_a=T_a\circ\theta^{-1}</latex>, то есть <latex>\theta^{-1}\in C(M)</latex>.
Пусть <latex>\theta\in C(M)\backslash\{0\}</latex> и <latex>W=\theta M</latex>, тогда <latex>\forall r\in R</latex> имеем <latex>Wr=</latex> <latex>T_rW=</latex> <latex>T_r(\theta M)=</latex> <latex>(T_r\theta)M=</latex> <latex>(\theta T_r)M=</latex> <latex>\theta(T_r M)\subseteq\theta M=W</latex>, то есть <latex> W </latex> — подмодуль в <latex> M </latex>. Так как <latex>\theta\neq 0</latex>, то <latex>\theta M\neq 0</latex> и из неприводимости модуля <latex> M </latex> следует, что <latex>M=\theta M</latex>, то есть <latex>\theta</latex> — эпиморфизм.
В то же время <latex>\theta</latex> — мономорфизм. В самом деле, легко видеть, что <latex>\textrm{ker}~\theta</latex> — подмодуль модуля <latex> M </latex> и не совпадает с <latex> M </latex>, так как <latex>\theta\neq 0</latex>. Следовательно, <latex>\textrm{ker}~\theta=0</latex>. Будучи одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом, <latex>\theta</latex> является изоморфизмом и обладает обратным <latex>\theta^{-1}\in E(M)</latex>. <latex>\blacksquare</latex> </hidden> Предложение 1. Если <latex> M </latex> — неприводимый <latex> R </latex>-модуль, то <latex> M </latex> изоморфен (как модуль) модулю <latex>R/\rho</latex> для некоторого максимального правого регулярного идеала <latex>\rho</latex> в <latex> R </latex>. Пример 1. Пусть <latex> R </latex> — ассоциативное кольцо и <latex>\rho</latex> — минимальный (по включению) правый идеал <latex> R </latex>. Тогда идеал <latex>\rho</latex>, рассматриваемый как правый модуль над <latex> R </latex> — неприводим.

См. также

Литература

  • Херстейн И. «Некоммутативные кольца», Мир, 1972.
1) или правый
2) $m\mapsto m\cdot a$ в случае правого модуля
3) ring centralizer
4) , 8) irreducible module
5) он существует по определению неприводимого модуля
7) =левыми $R$-подмодулями
glossary/module/irreducible.txt · Последние изменения: 10.10.2011 19:20:47 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0