Пусть — ассоциативное кольцо и
— левый1)
-модуль.
Через обозначается множество всех эндоморфизмов абелевой группы
. Для любых
определим их сумму
и произведение
. Относительно этих операций
является ассоциативным кольцом.
Для любого отображение
2) для всех
принадлежит
.
Определение 1. Централизатором кольца на модуле
3) называется кольцо
,
являющееся подкольцом -эндоморфизмов модуля
в
.
Определение 2. Пусть — ассоциативное кольцо. Левый
-модуль
называется неприводимым4), если
и подмодулями модуля
являются лишь
и
.
Пример 1. Пусть — ассоциативное кольцо и
— минимальный (по включению) собственный левый идеал
. Тогда идеал
, рассматриваемый как левый модуль над
— неприводим.
Лемма Шура. Если — неприводимый левый
-модуль, то
— тело.
Доказательство.
Доказательство.
Покажем, что любой ненулевой элемент имеет обратный в
. Достаточно показать, что
обратим в
, так как если существует
, то из равенства
следует, что
, то есть
.
Пусть и
, тогда для любого
имеем
, то есть
— подмодуль в
. Так как
, то
и из неприводимости модуля
следует, что
, то есть
— эпиморфизм.
В то же время — мономорфизм. В самом деле, легко видеть, что
— подмодуль модуля
и не совпадает с
, так как
. Следовательно,
. Будучи одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом,
является изоморфизмом и обладает обратным
.
Предложение 1. -модуль
неприводим тогда и только тогда, когда он изоморфен
-модулю
для некоторого регулярного максимального левого идеала
в
.
Доказательство.
Доказательство.
Пусть модуль неприводим. Зафиксируем некоторый ненулевой элемент
, такой, что
5), и рассмотрим множество
. Это подмодуль в
. В силу неприводимости
.
Определим отображение по правилу
. Ясно, что
— гомоморфизм
-модулей. Пусть
— левый
-подмодуль в
. Поэтому
.
Покажем, что — максимальный левый идеал в
. Каноническая проекция левых
-модулей
индуцирует взаимно однозначное соответствие6) между левыми идеалами в
7), содержащими
, и левыми
-подмодулями в
. В силу неприводимости
единственный собственный левый идеал, содержащий
, равен
.
Остается показать, что регулярен. Из равенства
следует, что для некоторого элемента
.
Для любого элемент
, так как
для всех
.
Обратно, пусть — максимальный левый идеал в
. Тогда
неприводим снова в силу взаимно однозначного соответствия между левыми идеалами в
, содержащими
, и левыми
-подмодулями в
.
===== Неприводимый правый модуль =====
Определение 1. Пусть <latex> R </latex> — ассоциативное кольцо. Правый <latex> R </latex>-модуль <latex> M </latex> называется неприводимым8), если <latex>MR\neq 0</latex> и подмодулями модуля <latex> M </latex> являются лишь <latex> 0 </latex> и <latex> M </latex>.
Лемма Шура. Если <latex> M </latex> — неприводимый <latex> R </latex>-модуль, то <latex>C(M)</latex> — тело.
<hidden onVisible=«Доказательство.» onHidden=«Доказательство.» initialState=«invisible»>
Покажем, что любой ненулевой элемент <latex>\theta\in C(M)</latex> имеет обратный в <latex>C(M)</latex>. Достаточно показать, что <latex>\theta</latex> обратим в <latex>E(M)</latex>, так как если существует <latex>\theta^{-1}\in E(M)</latex>, то из равенства <latex>T_a\circ\theta=\theta\circ T_a</latex> следует, что <latex>\theta^{-1}\circ T_a=T_a\circ\theta^{-1}</latex>, то есть <latex>\theta^{-1}\in C(M)</latex>.
Пусть <latex>\theta\in C(M)\backslash\{0\}</latex> и <latex>W=\theta M</latex>, тогда <latex>\forall r\in R</latex> имеем <latex>Wr=</latex> <latex>T_rW=</latex> <latex>T_r(\theta M)=</latex> <latex>(T_r\theta)M=</latex> <latex>(\theta T_r)M=</latex> <latex>\theta(T_r M)\subseteq\theta M=W</latex>, то есть <latex> W </latex> — подмодуль в <latex> M </latex>. Так как <latex>\theta\neq 0</latex>, то <latex>\theta M\neq 0</latex> и из неприводимости модуля <latex> M </latex> следует, что <latex>M=\theta M</latex>, то есть <latex>\theta</latex> — эпиморфизм.
В то же время <latex>\theta</latex> — мономорфизм. В самом деле, легко видеть, что <latex>\textrm{ker}~\theta</latex> — подмодуль модуля <latex> M </latex> и не совпадает с <latex> M </latex>, так как <latex>\theta\neq 0</latex>. Следовательно, <latex>\textrm{ker}~\theta=0</latex>. Будучи одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом, <latex>\theta</latex> является изоморфизмом и обладает обратным <latex>\theta^{-1}\in E(M)</latex>. <latex>\blacksquare</latex>
</hidden>
Предложение 1. Если <latex> M </latex> — неприводимый <latex> R </latex>-модуль, то <latex> M </latex> изоморфен (как модуль) модулю <latex>R/\rho</latex> для некоторого максимального правого регулярного идеала <latex>\rho</latex> в <latex> R </latex>.
Пример 1. Пусть <latex> R </latex> — ассоциативное кольцо и <latex>\rho</latex> — минимальный (по включению) правый идеал <latex> R </latex>. Тогда идеал <latex>\rho</latex>, рассматриваемый как правый модуль над <latex> R </latex> — неприводим.