Содержание
Гомоморфизм модулей
Гомоморфизм левых модулей
Пусть даны произвольные левые модули и
над ассоциативным кольцом
.
Определение 1. Отображение называется гомоморфизмом левых модулей1), или
-линейным отображением2), если он является гомоморфизмом абелевых групп, перестановочным с действием кольца, то есть выполнены условия:
для любых
,
для любых
и
.
Пример 1. Тождественное отображение любого модуля на себя является гомоморфизмом модулей.
Пример 2. Для любых левых -модулей
и
отображение
такое, что
для
является гомоморфизмом, называемым нулевым.
Предложение 1. Пусть — множество всех гомоморфизмов левых модулей из
в
над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей
. Тогда
является левым
-модулем, причем структура модуля задана правилами:
для
и
,
для
,
и
.
Гомоморфизм правых модулей
Пусть даны произвольные правые модули и
над ассоциативным кольцом
.
Определение 1. Отображение называется гомоморфизмом правых модулей3), или
-линейным отображением4), если он является гомоморфизмом абелевых групп, перестановочных с действием кольца, то есть выполнены условия:
для любых
,
для любых
и
.
Пример 1. Тождественное отображение любого модуля на себя является гомоморфизмом модулей.
Пример 2. Для любых правых -модулей
и
отображение
такое, что
для
является гомоморфизмом, называемым нулевым.
Предложение 1. Пусть — множество всех гомоморфизмов правых модулей из
в
над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей
. Тогда
является левым
-модулем, причем структура модуля задана правилами:
для
и
,
для
,
и
.
Ядро и образ
Пусть — гомоморфизм (левых или правых)
-модулей.
Определение 2. Ядром гомоморфизма5) называется множество
.
Определение 3. Образом гомоморфизма6) называется множество
.
Предложение 2. Множество является подмодулем в
.
Предложение 3. Множество является подмодулем в
.
Определение 4. Гомоморфизм называется мономорфизмом (левых или правых) модулей7), если
.
Определение 5. Гомоморфизм называется эпиморфизмом (левых или правых) модулей8), если
.
Определение 6. Гомоморфизм называется изоморфизмом (левых или правых) модулей9), если он одновременно эпи- и мономорфизм.
Теоремы о гомоморфизмах
Основная теорема о гомоморфизме. Пусть — гомоморфизм левых
-модулей с ядром
. Через
обозначим каноническую проекцию. Тогда существует единственный гомоморфизм левых
-модулей
, инъективный и такой, что
, то есть делающий коммутативной диаграмму
.
Если сюръективно, то
— изоморфизм.
Первая теорема об изоморфизме. Пусть и
— подмодули в
. Тогда отображение
является изоморфизмом фактормодулей
.
Теорема о соответствии. Пусть — эпиморфизм левых
-модулей с ядром
. Тогда существует биекция между множеством подмодулей в
, содержащих
, и множеством всех подмодулей в
.
Теорема о сокращении. Пусть и
— подмодули в
, причем
. Тогда фактормодуль
является подмодулем в
и имеет место изоморфизм:
.
Литература
- Херстейн И. «Некоммутативные кольца», Мир, 1972.