Гомоморфизм модулей

Гомоморфизм левых модулей

Пусть даны произвольные левые модули $ A $ и $ B $ над ассоциативным кольцом $ R $.

Определение 1. Отображение $\varphi:A\rightarrow B$ называется гомоморфизмом левых модулей1), или $ R $-линейным отображением2), если он является гомоморфизмом абелевых групп, перестановочным с действием кольца, то есть выполнены условия:

  1. $\varphi(a_1+a_2)=\varphi(a_1)+\varphi(a_2)$ для любых $a_1,a_2\in A$,
  2. $\varphi(r\cdot a)=r\cdot\varphi(a)$ для любых $r\in R$ и $a\in A$.

Пример 1. Тождественное отображение любого модуля на себя является гомоморфизмом модулей.

Пример 2. Для любых левых $ R $-модулей $ M $ и $ N $ отображение $\zeta:M\rightarrow N$ такое, что $\zeta(x)=0$ для $\forall x\in M$ является гомоморфизмом, называемым нулевым.

Предложение 1. Пусть $\textrm{Hom}_R(A,B)$ — множество всех гомоморфизмов левых модулей из $ A $ в $ B $ над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей $ R $. Тогда $\textrm{Hom}_R(A,B)$ является левым $ R $-модулем, причем структура модуля задана правилами:

  1. $(\varphi_1+\varphi_2)(a)=\varphi_1(a)+\varphi_2(a)$ для $\varphi_1,\varphi_2\in\textrm{Hom}_R(A,B)$ и $a\in A$,
  2. $(r\cdot\varphi)(a)=r\cdot\varphi(a)$ для $r\in R$, $a\in A$ и $\varphi\in\textrm{Hom}_R(A,B)$.

Гомоморфизм правых модулей

Пусть даны произвольные правые модули $ A $ и $ B $ над ассоциативным кольцом $ R $.

Определение 1. Отображение $\varphi:A\rightarrow B$ называется гомоморфизмом правых модулей3), или $ R $-линейным отображением4), если он является гомоморфизмом абелевых групп, перестановочных с действием кольца, то есть выполнены условия:

  1. $\varphi(a_1+a_2)=\varphi(a_1)+\varphi(a_2)$ для любых $a_1,a_2\in A$,
  2. $\varphi(a\cdot r)=\varphi(a)\cdot r$ для любых $r\in R$ и $a\in A$.

Пример 1. Тождественное отображение любого модуля на себя является гомоморфизмом модулей.

Пример 2. Для любых правых $ R $-модулей $ M $ и $ N $ отображение $\zeta:M\rightarrow N$ такое, что $\zeta(x)=0$ для $\forall x\in M$ является гомоморфизмом, называемым нулевым.

Предложение 1. Пусть $\textrm{Hom}_R(A,B)$ — множество всех гомоморфизмов правых модулей из $ A $ в $ B $ над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей $ R $. Тогда $\textrm{Hom}_R(A,B)$ является левым $ R $-модулем, причем структура модуля задана правилами:

  1. $(\varphi_1+\varphi_2)(a)=\varphi_1(a)+\varphi_2(a)$ для $\varphi_1,\varphi_2\in\textrm{Hom}_R(A,B)$ и $a\in A$,
  2. $(r\cdot\varphi)(a)=\varphi(a)\cdot r$ для $r\in R$, $a\in A$ и $\varphi\in\textrm{Hom}_R(A,B)$.

Ядро и образ

Пусть $\varphi:A\rightarrow B$ — гомоморфизм (левых или правых) $ R $-модулей.

Определение 2. Ядром гомоморфизма5) $\varphi$ называется множество $\textrm{ker}\varphi=\{a\in A\vert\varphi(a)=0\}\subset A$.

Определение 3. Образом гомоморфизма6) $\varphi$ называется множество $\textrm{im}\varphi=\{b\in B\vert\exists a\in A:\varphi(a)=b\}\subset B$.

Предложение 2. Множество $\textrm{ker}\varphi$ является подмодулем в $ A $.

Предложение 3. Множество $\textrm{im}\varphi$ является подмодулем в $ B $.

Определение 4. Гомоморфизм $\varphi$ называется мономорфизмом (левых или правых) модулей7), если $\textrm{ker}\varphi=0$.

Определение 5. Гомоморфизм $\varphi$ называется эпиморфизмом (левых или правых) модулей8), если $\textrm{im}\varphi=B$.

Определение 6. Гомоморфизм $\varphi$ называется изоморфизмом (левых или правых) модулей9), если он одновременно эпи- и мономорфизм.

Теоремы о гомоморфизмах

Основная теорема о гомоморфизме. Пусть $\varphi\colon A\rightarrow B$ — гомоморфизм левых $R$-модулей с ядром $\textrm{ker}~\varphi=C$. Через $\pi\colon A\rightarrow A/C$ обозначим каноническую проекцию. Тогда существует единственный гомоморфизм левых $R$-модулей $\varphi_*\colon A/C\rightarrow B$, инъективный и такой, что $\varphi=\varphi_*\circ\pi$, то есть делающий коммутативной диаграмму

$\begin{diagram}\node{A}\arrow{se,b}{\pi}\arrow[2]{e,t}{\varphi}\node[2]{B}\\\node[2]{A/C}\arrow{ne,b}{\varphi_*}\end{diagram}$.

Если $\varphi$ сюръективно, то $\varphi_*$ — изоморфизм.

Первая теорема об изоморфизме. Пусть $B$ и $C$ — подмодули в $A$. Тогда отображение $\varphi\colon b+C\mapsto b+B\cap C$ является изоморфизмом фактормодулей $(B+C)/C\cong B/(B\cap C)$.

Теорема о соответствии. Пусть $\varphi\colon A\rightarrow B$ — эпиморфизм левых $R$-модулей с ядром $\textrm{ker}~\varphi=C$. Тогда существует биекция между множеством подмодулей в $A$, содержащих $C$, и множеством всех подмодулей в $B$.

Теорема о сокращении. Пусть $B$ и $C$ — подмодули в $A$, причем $C\subset B$. Тогда фактормодуль $B/C$ является подмодулем в $A/C$ и имеет место изоморфизм: $(A/C)/(B/C)\cong A/B$.

Литература

1) left module homomorphism
2) , 4) linear mapping
3) right module homomorphism
5) kernel of homomorphism
6) image of homomorphism
7) monomorphism of left modules
8) epimorphism of left modules
9) isomorphism of left modules
glossary/morphism/module.txt · Последние изменения: 10.10.2011 18:49:23 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0