Содержание

Гомоморфизм модулей

Гомоморфизм модулей

Гомоморфизм левых модулей

Пусть даны произвольные левые модули $A$ и $B$ над ассоциативным кольцом $R$ .

Определение 1. Отображение $\varphi:A\rightarrow B$ называется гомоморфизмом левых модулей¹⁾, или $R$ -линейным отображением²⁾, если он является гомоморфизмом абелевых групп, перестановочным с действием кольца, то есть выполнены условия:

$\varphi(a_1+a_2)=\varphi(a_1)+\varphi(a_2)$ для любых $a_1,a_2\in A$ ,
$\varphi(r\cdot a)=r\cdot\varphi(a)$ для любых $r\in R$ и $a\in A$ .

Пример 1. Тождественное отображение любого модуля на себя является гомоморфизмом модулей.

Пример 2. Для любых левых $R$ -модулей $M$ и $N$ отображение $\zeta:M\rightarrow N$ такое, что $\zeta(x)=0$ для $\forall x\in M$ является гомоморфизмом, называемым нулевым.

Предложение 1. Пусть $\textrm{Hom}_R(A,B)$ — множество всех гомоморфизмов левых модулей из $A$ в $B$ над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей $R$ . Тогда $\textrm{Hom}_R(A,B)$ является левым $R$ -модулем, причем структура модуля задана правилами:

$(\varphi_1+\varphi_2)(a)=\varphi_1(a)+\varphi_2(a)$ для $\varphi_1,\varphi_2\in\textrm{Hom}_R(A,B)$ и $a\in A$ ,
$(r\cdot\varphi)(a)=r\cdot\varphi(a)$ для $r\in R$ , $a\in A$ и $\varphi\in\textrm{Hom}_R(A,B)$ .

Гомоморфизм правых модулей

Пусть даны произвольные правые модули $A$ и $B$ над ассоциативным кольцом $R$ .

Определение 1. Отображение $\varphi:A\rightarrow B$ называется гомоморфизмом правых модулей³⁾, или $R$ -линейным отображением⁴⁾, если он является гомоморфизмом абелевых групп, перестановочных с действием кольца, то есть выполнены условия:

$\varphi(a_1+a_2)=\varphi(a_1)+\varphi(a_2)$ для любых $a_1,a_2\in A$ ,
$\varphi(a\cdot r)=\varphi(a)\cdot r$ для любых $r\in R$ и $a\in A$ .

Пример 1. Тождественное отображение любого модуля на себя является гомоморфизмом модулей.

Пример 2. Для любых правых $R$ -модулей $M$ и $N$ отображение $\zeta:M\rightarrow N$ такое, что $\zeta(x)=0$ для $\forall x\in M$ является гомоморфизмом, называемым нулевым.

Предложение 1. Пусть $\textrm{Hom}_R(A,B)$ — множество всех гомоморфизмов правых модулей из $A$ в $B$ над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей $R$ . Тогда $\textrm{Hom}_R(A,B)$ является левым $R$ -модулем, причем структура модуля задана правилами:

$(\varphi_1+\varphi_2)(a)=\varphi_1(a)+\varphi_2(a)$ для $\varphi_1,\varphi_2\in\textrm{Hom}_R(A,B)$ и $a\in A$ ,
$(r\cdot\varphi)(a)=\varphi(a)\cdot r$ для $r\in R$ , $a\in A$ и $\varphi\in\textrm{Hom}_R(A,B)$ .

Ядро и образ

Пусть $\varphi:A\rightarrow B$ — гомоморфизм (левых или правых) $R$ -модулей.

Определение 2. Ядром гомоморфизма⁵⁾ $\varphi$ называется множество $\textrm{ker}\varphi=\{a\in A\vert\varphi(a)=0\}\subset A$ .

Определение 3. Образом гомоморфизма⁶⁾ $\varphi$ называется множество $\textrm{im}\varphi=\{b\in B\vert\exists a\in A:\varphi(a)=b\}\subset B$ .

Предложение 2. Множество $\textrm{ker}\varphi$ является подмодулем в $A$ .

Предложение 3. Множество $\textrm{im}\varphi$ является подмодулем в $B$ .

Определение 4. Гомоморфизм $\varphi$ называется мономорфизмом (левых или правых) модулей⁷⁾, если $\textrm{ker}\varphi=0$ .

Определение 5. Гомоморфизм $\varphi$ называется эпиморфизмом (левых или правых) модулей⁸⁾, если $\textrm{im}\varphi=B$ .

Определение 6. Гомоморфизм $\varphi$ называется изоморфизмом (левых или правых) модулей⁹⁾, если он одновременно эпи- и мономорфизм.

Теоремы о гомоморфизмах

Основная теорема о гомоморфизме. Пусть $\varphi\colon A\rightarrow B$ — гомоморфизм левых $R$ -модулей с ядром $\textrm{ker}~\varphi=C$ . Через $\pi\colon A\rightarrow A/C$ обозначим каноническую проекцию. Тогда существует единственный гомоморфизм левых $R$ -модулей $\varphi_*\colon A/C\rightarrow B$ , инъективный и такой, что $\varphi=\varphi_*\circ\pi$ , то есть делающий коммутативной диаграмму

$\begin{diagram}\node{A}\arrow{se,b}{\pi}\arrow[2]{e,t}{\varphi}\node[2]{B}\\\node[2]{A/C}\arrow{ne,b}{\varphi_*}\end{diagram}$ .

Если $\varphi$ сюръективно, то $\varphi_*$ — изоморфизм.

Первая теорема об изоморфизме. Пусть $B$ и $C$ — подмодули в $A$ . Тогда отображение $\varphi\colon b+C\mapsto b+B\cap C$ является изоморфизмом фактормодулей $(B+C)/C\cong B/(B\cap C)$ .

Теорема о соответствии. Пусть $\varphi\colon A\rightarrow B$ — эпиморфизм левых $R$ -модулей с ядром $\textrm{ker}~\varphi=C$ . Тогда существует биекция между множеством подмодулей в $A$ , содержащих $C$ , и множеством всех подмодулей в $B$ .

Теорема о сокращении. Пусть $B$ и $C$ — подмодули в $A$ , причем $C\subset B$ . Тогда фактормодуль $B/C$ является подмодулем в $A/C$ и имеет место изоморфизм: $(A/C)/(B/C)\cong A/B$ .

Литература

Атья М., Макдональд И. «Введение в коммутативную алгебру», Факториал, 2003.
Ленг С. «Алгебра», Мир, 1968.
Херстейн И. «Некоммутативные кольца», Мир, 1972.

абстрактная алгебра, ассоциативное кольцо, гомоморфизм групп, гомоморфизм левых модулей, гомоморфизм модулей, левый модуль, линейное отображение, ядро гомоморфизма

¹⁾

left module homomorphism

²⁾ , ⁴⁾

linear mapping

³⁾

right module homomorphism

⁵⁾

kernel of homomorphism

⁶⁾

image of homomorphism

⁷⁾

monomorphism of left modules

⁸⁾

epimorphism of left modules

⁹⁾

isomorphism of left modules

glossary/morphism/module.txt · Последние изменения: 10.10.2011 14:49:23 — Ладилова Анна

Наверх