Тело

Определение

Определение 1. Тройка $(R,+,\cdot)$ , состоящая из множества $R$ и операций сложения $+$ и умножения $\cdot$ называется телом¹⁾, или кольцом с делением²⁾ если:

ассоциативность сложения: $(a+b)+c=a+(b+c)$ для всех $a,b,c\in R$ ;
существует нулевой элемент $0\in R$ такой, что $a+0=0+a=a$ для всех $a\in R$ ;
для всех $a\in R$ существует противоположный элемент $-a\in R$ такой, что $-a+a=a+(-a)=0$ ;
коммутативность сложения: $a+b=b+a$ для всех $a,b\in R$ ;
ассоциативность умножения: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$ для всех $a,b,c\in R$ ;
существует единичный элемент $1\in R$ такой, что $a\cdot 1=1\cdot a=a$ для всех $a\in R$ . При этом обычно требуют, чтобы $0\neq 1$ ;
для всех ненулевых $a\in R$ существует обратный элемент $a^{-1}\in R$ такой, что $a^{-1}\cdot a=a\cdot a^{-1}=1$ ;
дистрибутивность:
1. $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ для всех $a,b,c\in R$ ;
2. $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ для всех $a,b,c\in R$ .

Таким образом, тело — это ассоциативное кольцо с единицей отличной от нуля, в котором каждый ненулевой элемент обладает обратным относительно операции умножения.

Пример 1. Любое поле является телом.

Пример 2. Пусть $K$ порождается над полем вещественных чисел $\mathbb{R}$ элементами $i,j,k$ такими, что выполнены соотношения