Тело

Определение

Определение 1. Тройка $(R,+,\cdot)$, состоящая из множества $ R $ и операций сложения $ + $ и умножения $\cdot$ называется телом1), или кольцом с делением2) если:

  1. ассоциативность сложения: $(a+b)+c=a+(b+c)$ для всех $a,b,c\in R$;
  2. существует нулевой элемент $0\in R$ такой, что $a+0=0+a=a$ для всех $a\in R$;
  3. для всех $a\in R$ существует противоположный элемент $-a\in R$ такой, что $-a+a=a+(-a)=0$;
  4. коммутативность сложения: $a+b=b+a$ для всех $a,b\in R$;
  5. ассоциативность умножения: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$ для всех $a,b,c\in R$;
  6. существует единичный элемент $1\in R$ такой, что $a\cdot 1=1\cdot a=a$ для всех $a\in R$. При этом обычно требуют, чтобы $0\neq 1$;
  7. для всех ненулевых $a\in R$ существует обратный элемент $a^{-1}\in R$ такой, что $a^{-1}\cdot a=a\cdot a^{-1}=1$;
  8. дистрибутивность:
    1. $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ для всех $a,b,c\in R$;
    2. $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ для всех $a,b,c\in R$.

Таким образом, тело — это ассоциативное кольцо с единицей отличной от нуля, в котором каждый ненулевой элемент обладает обратным относительно операции умножения.

Пример 1. Любое поле является телом.

Пример 2. Пусть $K$ порождается над полем вещественных чисел $\mathbb{R}$ элементами $i,j,k$ такими, что выполнены соотношения

$i^2=j^2=k^2=-1$ и $ij=-ji=k$, $jk=-kj=i$, $ki=-ik=j$.

Тогда $K$ является телом и называется телом кватернионов.

См. также

Литература

1) skew field
2) division ring
glossary/ring/division.txt · Последние изменения: 18.01.2011 15:14:09 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0