Алгебра Ли

Определение

Определение 1. Пусть $R$коммутативное ассоциативное кольцо с единицей и $L$ является $R$-алгеброй с умножением $[~,~]$:

$(x,y)\mapsto[x,y]$ для всех $x,y\in L$.

Будем говорить, что $L$ — это алгебра Ли1) над $R$, если выполнены условия:

  1. $[x,x]=0$ для всех $x\in L$;2)
  2. тождество Якоби: $[[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0$ для всех $x,y,z\in L$.

Замечание.

Замечание.

Замечание.

Из условия 1 следует антикоммутативность:

$[x,y]=-[y,x]$ для всех $x,y\in L$.

В случае, если $R$поле характеристики $\textrm{char}~R\neq2$, то свойство антикоммутативности эквивалентно условию 1.

Пример 1. Пространство $\mathbb{R}^3$ с операцией векторного произведения является алгеброй Ли.

Пример 2. Целый класс примеров алгебр Ли доставляют классические алгебры Ли.

Определение 2. Два элемента $x,y$ алгебры Ли $L$ называются коммутирующими3), если $[x,y]=0$.

Определение 3. Алгебра Ли $L$ называется абелевой4), если любые два ее элемента коммутируют:

$[x,y]=0$ для всех $x,y\in L$.

Определение 4. Алгебра Ли $L$ называется простой5), если $[L,L]\neq0$ и $L$ не имеет собственных идеалов.

Структурные константы

Определение 5. Пусть $L$конечномерная алгебра Ли над полем $F$ с базисом $\{e_1,\ldots,e_n\}$.6) Тогда произведение любых двух элементов из базиса можно записать в виде $[e_i,e_j]=\sum c^k_{ij}e_k$. Элементы $c^k_{ij}$ называются структурными константами алгебры Ли7).

Предложение 1. Набор $\{c^k_{ij}\}_{1\leqslant i,j,k\leqslant n}$ элементов из поля $F$ является набором структурных констант некоторой алгебры Ли тогда и только тогда, когда выполнены условия

  • $c^k_{ii}=0$,
  • $\sum_{k=1}^n(c^k_{ij}c^l_{st}+c^k_{jt}c^l_{si}+c^k_{ti}c^l_{sj})=0$.

Алгебра Ли ассоциативной алгебры

Пусть $A$ — произвольная ассоциативная алгебра с операцией умножения $\cdot$ над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей $R$.

Определение 6. На $A$ можно задать структуру алгебры Ли по следующему правилу: $[x,y]=x\cdot y-y\cdot x$. При этом алгебру $A$ с умножением $[,]$ обозначают через $A_L$ и называют алгеброй Ли ассоциативной алгебры8) $ A $.

Пример 3. Пусть $\textrm{Mat}_n(F)$ — ассоциативная алгебра матриц порядка $n$ над полем $F$. Операция коммутирования: $[A,B]=AB-BA$, где $A,B\in\textrm{Mat}_n(F)$ наделяет $\textrm{Mat}_n(F)$ структурой алгебры Ли.

Пример 4. Пусть $V$векторное пространство над полем $F$, и $\textrm{End}(V)$ — ассоциативная алгебра линейных операторов на $V$, где операцией умножения является композиция линейных операторов. Алгебра Ли ассоциативной алгебры $\textrm{End}(V)$ называется полной линейной алгеброй.

Алгебры Ли дифференцирований

Пример 5. Алгебра Ли дифференцирований произвольной алгебры.

Пример 6. Алгебра Ли внутренних дифференцирований алгебры Ли $L$.

См. также

Литература

1) Lie algebra
2) то есть гомоморфизм умножения $L\otimes L\rightarrow L$ допускает разложение $L\otimes L\rightarrow L\wedge L\rightarrow L$;
3) commuting elements
4) abelian
5) simple
6) На самом деле можно предполагать, что $L$ — конечномерная свободная алгебра над кольцом $R$.
7) structure constants of Lie algebra
8) Lie algebra of associative algebra
glossary/algebra/lie.txt · Последние изменения: 15.04.2014 22:39:06 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0