Содержание

Алгебра Ли

Алгебра Ли

Определение

Определение 1. Пусть $R$ — коммутативное ассоциативное кольцо с единицей и $L$ является $R$ -алгеброй с умножением $[~,~]$ :

$(x,y)\mapsto[x,y]$ для всех $x,y\in L$ .

Будем говорить, что $L$ — это алгебра Ли¹⁾ над $R$ , если выполнены условия:

$[x,x]=0$ для всех $x\in L$ ;²⁾
тождество Якоби: $[[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0$ для всех $x,y,z\in L$ .

Замечание.

Из условия 1 следует антикоммутативность:

$[x,y]=-[y,x]$ для всех $x,y\in L$ .

В случае, если $R$ — поле характеристики $\textrm{char}~R\neq2$ , то свойство антикоммутативности эквивалентно условию 1.

Пример 1. Пространство $\mathbb{R}^3$ с операцией векторного произведения является алгеброй Ли.

Пример 2. Целый класс примеров алгебр Ли доставляют классические алгебры Ли.

Определение 2. Два элемента $x,y$ алгебры Ли $L$ называются коммутирующими³⁾, если $[x,y]=0$ .

Определение 3. Алгебра Ли $L$ называется абелевой⁴⁾, если любые два ее элемента коммутируют:

$[x,y]=0$ для всех $x,y\in L$ .

Определение 4. Алгебра Ли $L$ называется простой⁵⁾, если $[L,L]\neq0$ и $L$ не имеет собственных идеалов.

Структурные константы

Определение 5. Пусть $L$ — конечномерная алгебра Ли над полем $F$ с базисом $\{e_1,\ldots,e_n\}$ .⁶⁾ Тогда произведение любых двух элементов из базиса можно записать в виде $[e_i,e_j]=\sum c^k_{ij}e_k$ . Элементы $c^k_{ij}$ называются структурными константами алгебры Ли⁷⁾.

Предложение 1. Набор $\{c^k_{ij}\}_{1\leqslant i,j,k\leqslant n}$ элементов из поля $F$ является набором структурных констант некоторой алгебры Ли тогда и только тогда, когда выполнены условия

$c^k_{ii}=0$ ,
$\sum_{k=1}^n(c^k_{ij}c^l_{st}+c^k_{jt}c^l_{si}+c^k_{ti}c^l_{sj})=0$ .

Алгебра Ли ассоциативной алгебры

Пусть $A$ — произвольная ассоциативная алгебра с операцией умножения $\cdot$ над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей $R$ .

Определение 6. На $A$ можно задать структуру алгебры Ли по следующему правилу: $[x,y]=x\cdot y-y\cdot x$ . При этом алгебру $A$ с умножением $[,]$ обозначают через $A_L$ и называют алгеброй Ли ассоциативной алгебры⁸⁾ $A$ .

Пример 3. Пусть $\textrm{Mat}_n(F)$ — ассоциативная алгебра матриц порядка $n$ над полем $F$ . Операция коммутирования: $[A,B]=AB-BA$ , где $A,B\in\textrm{Mat}_n(F)$ наделяет $\textrm{Mat}_n(F)$ структурой алгебры Ли.

Пример 4. Пусть $V$ — векторное пространство над полем $F$ , и $\textrm{End}(V)$ — ассоциативная алгебра линейных операторов на $V$ , где операцией умножения является композиция линейных операторов. Алгебра Ли ассоциативной алгебры $\textrm{End}(V)$ называется полной линейной алгеброй.

Алгебры Ли дифференцирований

Пример 5. Алгебра Ли дифференцирований произвольной алгебры.

Пример 6. Алгебра Ли внутренних дифференцирований алгебры Ли $L$ .

См. также

Классические алгебры Ли

Литература

абстрактная алгебра, алгебры ли, абелева алгебра Ли, алгебра, алгебра ли, алгебра ли ассоциативной алгебры, алгебра ли дифференцирований, антикоммутативность, ассоциативная алгебра, ассоциативное кольцо, гомоморфизм модулей, дифференцирование, кольцо с единицей, коммутативное кольцо, простая алгебра ли, структурные константы, тождество якоби

¹⁾

Lie algebra

²⁾

то есть гомоморфизм умножения $L\otimes L\rightarrow L$ допускает разложение $L\otimes L\rightarrow L\wedge L\rightarrow L$ ;

³⁾

commuting elements

⁴⁾

abelian

⁵⁾

simple

⁶⁾

На самом деле можно предполагать, что $L$ — конечномерная свободная алгебра над кольцом $R$ .

⁷⁾

structure constants of Lie algebra

⁸⁾

Lie algebra of associative algebra

glossary/algebra/lie.txt · Последние изменения: 15.04.2014 18:39:06 — Ладилова Анна

Наверх