Содержание
Классические алгебры Ли
Полная линейная алгебра
Пусть — векторное пространство над полем
, и
— алгебра линейных операторов на
, где умножением является композиция линейных операторов.
Определение 1. Алгебра Ли ассоциативной алгебры с операцией умножения
для любых
называется полной линейной алгеброй1) и обозначается символом
.
Пусть пространство конечномерно,
. Зафиксировав в
некоторый базис, можно каждому линейному оператору
взаимно однозначно поставить в соответствие матрицу порядка
с коэффициентами из
. В результате пространство
отождествляется с пространством
матриц порядка
2), которое обозначается через
.
Стандартный базис алгебры состоит из матриц
, у которых в
-й строке,
-м столбце стоит 1, а в остальных позициях — нули.
Определение 2. Любая подалгебра в называется линейной алгеброй Ли3).
Специальная линейная алгебра
Пусть .
Определение 3. Множество эндоморфизмов пространства
с нулевым следом является подалгеброй в
, которая называется специальной линейной алгеброй4). Матричная реализация этой алгебры обозначается через
и имеет следующий стандартный базис:
при
,
, где
.
Ортогональная алгебра
Случай пространства нечетной размерности
Пусть .
Обозначим через матрицу
, где
— единичная матрица порядка
. Данная матрица определяет симметрическую невырожденную билинейную форму
на пространстве
.
Определение 4. Множество всех линейных операторов на пространстве
, удовлетворяющих условию
для любых
, образует подалгебру в
, которая обозначается через
и называется ортогональной линейной алгеброй5). Матричная реализация этой алгебры обозначается через
. Стандартным базисом этой алгебры служит набор матриц6)
, где
,
, где
,
, где
,
, где
.
Случай пространства четной размерности
Пусть .
Обозначим через матрицу
. Данная матрица определяет симметрическую невырожденную билинейную форму
на пространстве
.
Определение 5. Множество всех линейных операторов на пространстве
, удовлетворяющих условию
для любых
, образует подалгебру в
, которая обозначается через
и называется ортогональной линейной алгеброй7). Матричная реализация этой алгебры обозначается через
. Стандартным базисом этой алгебры является множество
, где
,
, где
,
, где
,
, где
,
, где
,
, где
.
Симплектическая алгебра
Пусть .
Обозначим через матрицу
, где
— единичная матрица порядка
. Данная матрица определяет кососимметрическую невырожденную билинейную форму
на пространстве
.
Определение 6. Множество всех линейных операторов на пространстве
, удовлетворяющих условию
для любых
, образует подалгебру в
, которая обозначается через
и называется симплектической линейной алгеброй8). Матричная реализация этой алгебры обозначается через
. Стандартным базисом этой алгебры служит набор матриц
, где
,
, где
,
, где
,
, где
,
, где
,
, где
.
Классические алгебры Ли
Описанные выше специальная, симплектическая и ортогональная алгебры Ли являются так называемыми классическими алгебрами Ли. Вместе с исключительными алгебрами ,
и
они составляют полный перечень алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики.
серия | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
матричная реализация | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
размерность | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
название матричной реализации | специальная алгебра | ортогональная алгебра | симплектическая алгебра | ортогональная алгебра |
См. также
Литература
