Классические алгебры Ли

Полная линейная алгебра

Пусть $V$векторное пространство над полем $F$, и $\textrm{End}(V)$ — алгебра линейных операторов на $V$, где умножением является композиция линейных операторов.

Определение 1. Алгебра Ли ассоциативной алгебры $\textrm{End}(V)$ с операцией умножения $[x,y]=x\circ y-y\circ x$ для любых $x,y\in\textrm{End}(V)$ называется полной линейной алгеброй1) и обозначается символом $\mathfrak{gl}(V)$.

Пусть пространство $V$ конечномерно, $\dim~V=n$. Зафиксировав в $V$ некоторый базис, можно каждому линейному оператору $x$ взаимно однозначно поставить в соответствие матрицу порядка $n$ с коэффициентами из $F$. В результате пространство $\mathfrak{gl}(V)$ отождествляется с пространством $\textrm{Mat}_n(F)$ матриц порядка $n$2), которое обозначается через $\mathfrak{gl}_n(F)$.

Стандартный базис алгебры $\mathfrak{gl}_n(F)$ состоит из матриц $E_{ij}$, у которых в $i$-й строке, $j$-м столбце стоит 1, а в остальных позициях — нули.

Определение 2. Любая подалгебра в $\mathfrak{gl}(V)$ называется линейной алгеброй Ли3).

Специальная линейная алгебра

Пусть $\dim~V=n+1$.

Определение 3. Множество $\mathfrak{sl}(V)$ эндоморфизмов пространства $V$ с нулевым следом является подалгеброй в $\mathfrak{gl}(V)$, которая называется специальной линейной алгеброй4). Матричная реализация этой алгебры обозначается через $\mathfrak{sl}_{n+1}(F)$ и имеет следующий стандартный базис:

  • $E_{ij}$ при $1\leqslant i\neq j\leqslant n+1$,
  • $E_{ii}-E_{i+1,i+1}$, где $1\leqslant i\leqslant n$.

Ортогональная алгебра

Случай пространства нечетной размерности

Пусть $\dim~V=2n+1$.

Обозначим через $S$ матрицу $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 0 & I_n\\ 0 & I_n & 0\end{pmatrix}$, где $ I_n$единичная матрица порядка $n$. Данная матрица определяет симметрическую невырожденную билинейную форму $\psi_S$ на пространстве $V$.

Определение 4. Множество всех линейных операторов $x$ на пространстве $V$, удовлетворяющих условию $\psi_S(x(u),v)+\psi_S(u,x(v))=0$ для любых $u,v\in V$, образует подалгебру в $\mathfrak{gl}(V)$, которая обозначается через $\mathfrak{o}(V)$ и называется ортогональной линейной алгеброй5). Матричная реализация этой алгебры обозначается через $\mathfrak{o}_{2n+1}(F)$. Стандартным базисом этой алгебры служит набор матриц6)

  • $E_{i,j+n}-E_{j,i+n}$, где $1\leqslant i<j\leqslant n$,
  • $E_{i+n,j}-E_{j+n,i}$, где $1\leqslant j<i\leqslant n$,
  • $E_{ij}-E_{j+n,i+n}$, где $1\leqslant i\neq j\leqslant n$,
  • $E_{ii}-E_{i+n,i+n}$, где $1\leqslant i\leqslant n$.

Случай пространства четной размерности

Пусть $\dim~V=2n$.

Обозначим через $S$ матрицу $\begin{pmatrix}0 & I_n\\ I_n & 0\end{pmatrix}$. Данная матрица определяет симметрическую невырожденную билинейную форму $\psi_S$ на пространстве $V$.

Определение 5. Множество всех линейных операторов $x$ на пространстве $V$, удовлетворяющих условию $\psi_S(x(u),v)+\psi_S(u,x(v))=0$ для любых $u,v\in V$, образует подалгебру в $\mathfrak{gl}(V)$, которая обозначается через $\mathfrak{o}(V)$ и называется ортогональной линейной алгеброй7). Матричная реализация этой алгебры обозначается через $\mathfrak{o}_{2n}(F)$. Стандартным базисом этой алгебры является множество

  • $E_{i,j+n}-E_{j,i+n}$, где $1\leqslant i<j\leqslant n$,
  • $E_{i+n,j}-E_{j+n,i}$, где $1\leqslant j<i\leqslant n$,
  • $E_{i,i+n}$, где $1\leqslant i\leqslant n$,
  • $E_{i+n,i}$, где $1\leqslant i\leqslant n$,
  • $E_{ij}-E_{j+n,i+n}$, где $1\leqslant i\neq j\leqslant n$,
  • $E_{ii}-E_{i+n,i+n}$, где $1\leqslant i\leqslant n$.

Симплектическая алгебра

Пусть $\dim~V=2n$.

Обозначим через $S$ матрицу $\begin{pmatrix}0 & I_n\\ -I_n & 0\end{pmatrix}$, где $ I_n$ — единичная матрица порядка $n$. Данная матрица определяет кососимметрическую невырожденную билинейную форму $\psi_S$ на пространстве $V$.

Определение 6. Множество всех линейных операторов $x$ на пространстве $V$, удовлетворяющих условию $\psi_S(x(u),v)+\psi_S(u,x(v))=0$ для любых $u,v\in V$, образует подалгебру в $\mathfrak{gl}(V)$, которая обозначается через $\mathfrak{sp}(V)$ и называется симплектической линейной алгеброй8). Матричная реализация этой алгебры обозначается через $\mathfrak{sp}_{2n}(F)$. Стандартным базисом этой алгебры служит набор матриц

  • $E_{i,j+n}-E_{j,i+n}$, где $1\leqslant i<j\leqslant n$,
  • $E_{i+n,j}-E_{j+n,i}$, где $1\leqslant j<i\leqslant n$,
  • $E_{i,i+n}$, где $1\leqslant i\leqslant n$,
  • $E_{i+n,i}$, где $1\leqslant i\leqslant n$,
  • $E_{ij}-E_{j+n,i+n}$, где $1\leqslant i\neq j\leqslant n$,
  • $E_{ii}-E_{i+n,i+n}$, где $1\leqslant i\leqslant n$.

Классические алгебры Ли

Описанные выше специальная, симплектическая и ортогональная алгебры Ли являются так называемыми классическими алгебрами Ли. Вместе с исключительными алгебрами $E_6,E_7,E_8$, $F_4$ и $G_2$ они составляют полный перечень алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики.

серия $A_n$ $B_n$ $C_n$ $D_n$
матричная реализация $\mathfrak{sl}_{n+1}(F)$ $\mathfrak{o}_{2n+1}(F)$ $\mathfrak{sp}_{2n}(F)$ $\mathfrak{o}_{2n}(F)$
размерность $n^2-1$ $n^2+n$ $n^2+n$ $n^2-n$
название матричной реализации специальная алгебра ортогональная алгебра симплектическая алгебра ортогональная алгебра

См. также

Литература

1) general linear Lie algebra
2) Пример 2 статьи Алгебра Ли.
3) linear Lie algebra
4) special linear algebra
5) , 7) ortogonal linear algebra
6) здесь предполагается, что характеристика поля $\textrm{char}~p>2$
8) symplectic linear algebra
glossary/algebra/lie/classical.txt · Последние изменения: 07.03.2013 01:29:44 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0