Определитель и след линейного оператора

проверено

Определение

Пусть $\varphi:V\rightarrow V$ — линейный оператор с матрицей $A_{\varphi}$ в некотором фиксированном базисе $\{e_1,\ldots,e_n\}$ векторного пространства $V$ над полем $F$ .

Определение 1. Определителем¹⁾ $\textrm{det}~\varphi$ линейного оператора $\varphi$ называется определитель матрицы $A_{\varphi}$ .

Определение 2. Следом²⁾ $\textrm{tr}~\varphi$ линейного оператора $\varphi$ называется след матрицы $A_{\varphi}$ .

Предложение 1. Пусть $\chi_{\varphi}(t)=t^n+a_{n-1}t^{n-1}+\ldots+a_1t+a_0$ — характеристический многочлен оператора $\varphi$ . Тогда

$\textrm{tr}~\varphi=-a_{n-1}$ ,
$\textrm{det}~\varphi=(-1)^na_0$ .

Следствие 1. Определитель и след линейного оператора $\varphi$ не зависят от выбора базиса пространства $V$ .

Пример 1. Определитель и след нулевого линейного оператора равны нулю.

Пример 2. Определитель тождественного линейного оператора на $n$ -мерном векторном пространстве $V$ равен $\textrm{det}~\textrm{id}_V=1$ , а его след равен $\textrm{tr}~\textrm{id}_V=n$ .

Предложение 2. Отображение $\textrm{tr}\colon\textrm{End}~V\rightarrow F$ , которое каждому эндоморфизму $\varphi\in\textrm{End}~V$ ставит в соответствие его след $\textrm{tr}\varphi$ , линейно.