Содержание
Алгебра Ли дифференцирований
Дифференцирование
Определение 1. Пусть — алгебра над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей
. Дифференцированием1) алгебры
называется
-линейное отображение
, удовлетворяющее условию
для всех
.
Пример 1. Пусть — кольцо многочленов над полем
. Определим отображение
своим действием на мономах:
.
Нетрудно проверить, что является дифференцированием.
Пример 2. Пусть — алгебра Ли над ассоциативным коммутативным кольцом с единицей
. Тогда для каждого
определено отображение
по формуле
. Из тождества Якоби следует, что
— дифференцирование.
Определение 2. Дифференцирование алгебры Ли
, определенное в примере 2 для каждого
, называется внутренним дифференцированием2) алгебры Ли
.
Алгебра Ли дифференцирований
Определение 3. Множество всех дифференцирований алгебры является ассоциативной алгеброй3). Алгебра Ли этой алгебры обозначается символом
и называется алгеброй Ли дифференцирований4).
Определение 4. Пусть — алгебра Ли, и
— алгебра Ли ее дифференцирований. Подалгебра Ли этой алгебры, образованная всеми внутренними дифференцированиями алгебры Ли
, называется алгеброй Ли внутренних дифференцирований5) алгебры Ли
:
.