Алгебра Ли дифференцирований

Дифференцирование

Определение 1. Пусть $A$алгебра над коммутативным ассоциативным кольцом с единицей $R$. Дифференцированием1) алгебры $A$ называется $R$-линейное отображение $\delta\colon A\rightarrow A$, удовлетворяющее условию

$\delta(x\cdot y)=\delta(x)\cdot y+x\cdot\delta(y)$ для всех $x,y\in A$.

Пример 1. Пусть $A=F[T]$кольцо многочленов над полем $F$. Определим отображение $\frac{d}{dt}\colon F[T]\rightarrow F[T]$ своим действием на мономах:

$\frac{d}{dt}(T^n)=nT^{n-1}$.

Нетрудно проверить, что $\frac{d}{dt}$ является дифференцированием.

Проверка.

Проверка.

Проверка.

Утверждение достаточно проверить на мономах:

$\frac{d}{dt}(T^nT^m)=\frac{d}{dt}(T^{n+m})=(n+m)T^{n+m-1}$.

С другой стороны

$\frac{d}{dt}(T^nT^m)=T^n\frac{d}{dt}(T^m)+\frac{d}{dt}(T^n)T^m=mT^nT^{m-1}+nT^{n-1}T^m=(n+m)T^{n+m-1}$,

откуда и следует требуемое.

Пример 2. Пусть $L$алгебра Ли над ассоциативным коммутативным кольцом с единицей $R$. Тогда для каждого $x\in L$ определено отображение $\textrm{ad}x\colon L\rightarrow L$ по формуле $\textrm{ad}x(y)=[x,y]$. Из тождества Якоби следует, что $\textrm{ad}x$ — дифференцирование.

Определение 2. Дифференцирование $\textrm{ad}x$ алгебры Ли $L$, определенное в примере 2 для каждого $x\in L$, называется внутренним дифференцированием2) алгебры Ли $L$.

Алгебра Ли дифференцирований

Определение 3. Множество всех дифференцирований алгебры $A$ является ассоциативной алгеброй3). Алгебра Ли этой алгебры обозначается символом $\textrm{Der}A$ и называется алгеброй Ли дифференцирований4).

Определение 4. Пусть $L$ — алгебра Ли, и $\textrm{Der}L$ — алгебра Ли ее дифференцирований. Подалгебра Ли этой алгебры, образованная всеми внутренними дифференцированиями алгебры Ли $L$, называется алгеброй Ли внутренних дифференцирований5) алгебры Ли $L$:

$\textrm{ad}L=\{\textrm{ad}x|x\in L\}$.

См. также

Литература

1) derivation
2) inner derivation
3) относительно операции композиции
4) Lie algebra of derivations
5) Lie algebra of inner derivations
glossary/algebra/lie/derivation.txt · Последние изменения: 15.04.2014 22:48:50 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0