Характеристический многочлен линейного оператора

проверено

Рассмотрим конечномерное векторное пространство $ V $ над полем $ F $. Зафиксируем на нем линейный оператор $\varphi\colon V\rightarrow V$. Через $A_{\varphi}$ будем обозначать матрицу оператора $\varphi$ в некотором заранее выбранном базисе.

Инвариантные подпространства

Определение 1. Подпространство $U\subset V$ называется инвариантным1) относительно линейного оператора $\varphi$, если $\varphi(U)\subset U$.

Теорема 1. Пространство $ V $ является прямой суммой двух подпространств $ U $ и $ W $, инвариантных относительно линейного оператора $\varphi$, тогда и только тогда, когда в некотором базисе матрица оператора $\varphi$ имеет клеточно-диагональный вид: $\begin{pmatrix}A_U & 0\\ 0 & A_W\end{pmatrix}$.

Собственные вектора и собственные значения

Определение 2. Ненулевой вектор из одномерного подпространства, инвариантного относительно $\varphi$, называется собственным вектором2) оператора $\varphi$. Таким образом, собственный вектор $ v $ оператора $\varphi$ удовлетворяет условию $\varphi(v)=av$. При этом скаляр $a\in F$ называется собственным значением3) оператора $\varphi$.

Пример 1. Пусть $ V $ — двумерное векторное пространство над полем действительных чисел $\mathbb{R}$, и $\varphi$ — линейный оператор на $ V $, имеющий в некотором базисе $e_1,e_2\in V$ матрицу $A_{\varphi}=\begin{pmatrix}1 & 1\\4 & 1\end{pmatrix}$. Тогда вектор $u=e_1+2e_2$ является собственным вектором оператора $\varphi$ с собственным значением $ 3 $, а вектор $v=e_1-2e_2$ — собственным вектором с собственным значением $-1$. В этом можно удостовериться, решив уравнения,

$\begin{pmatrix}1 & 1\\4 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}u_1\\u_2\end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix}1 & 1\\4 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}=-1\begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}$.

Определение 3. Подпространство4) $V^a=\{v\in V\vert\varphi(v)=av\}$ называется собственным подпространством5) оператора $\varphi$. Размерность $\textrm{dim}V^a$ называется геометрической кратностью6) собственного значения $ a $.

Определение 4. Множество всех собственных значений линейного оператора $\varphi$ называется спектром7) этого оператора и обозначается символом $\textrm{Spec}\varphi$. Точка спектра называется простой8), если ей соответствует геометрическая кратность 1. Спектр называется простым9), если каждая точка спектра проста.

Предложение 1. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным значениям, линейно независимы. Сумма $\sum_{a\in\textrm{Spec}\varphi}V^a$ является прямой.

Пример 2. Опишем спектр линейного оператора $\varphi$ на векторном пространстве $ V $ из примера 1. Так как на двумерном векторном пространстве любой линейный оператор имеет не более двух собственных значений10), то из примера 1 видно, что $-1$ и $ 3 $ образуют простой спектр этого оператора.

Характеристический многочлен

Определение 5. Характеристическим многочленом11) оператора $\varphi$ называется многочлен $\chi_{\varphi}(t)=\textrm{det}(tE-A_{\varphi})$.

Теорема 2. Характеристический многочлен линейного оператора $\varphi$ не зависит от выбора базиса, в котором представлена его матрица.

Определение 6. Уравнение $\chi_{\varphi}(t)=0$ называется характеристическим уравнением12) оператора $\varphi$.

Предложение 2. Собственное значение $ a $ оператора $\varphi$ является корнем характеристического многочлена, т.е. $\chi_{\varphi}(a)=0$. Обратно, любой корень $a\in F$ характеристического многочлена является собственным значением оператора $\varphi$.

Определение 7. Кратность $ a $ как корня многочлена $\chi_{\varphi}(t)$ называется алгебраической кратностью13) собственного значения $ a $ оператора $\varphi$.

Теорема 3. Геометрическая кратность собственного значения $ a $ не превосходит его алгебраической кратности.

Диагонализируемые линейные операторы

Определение 8. Линейный оператор $\varphi$ называется диагонализируемым, если существует базис, в котором матрица этого оператора имеет диагональный вид $A_{\varphi}=\begin{pmatrix}a_1 & 0 & \ldots & 0\\0 & a_2 & \ldots & 0\\\ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\0 & 0 & \ldots & a_n\end{pmatrix}$.

Теорема 4. Линейный оператор $\varphi$ с простым спектром диагонализируем.

Теорема 5. Пусть $\varphi$ — линейный оператор на конечномерном векторном пространстве $ V $ над полем $ F $. Для диагонализируемости $\varphi$ необходимо и достаточно выполнения следующих двух условий:

  1. все корни характеристического многочлена $\chi_{\varphi}(t)$ лежат в $ F $;
  2. геометрическая кратность каждого собственного значения $ a $ совпадает с его алгебраической кратностью.

Пример 3. Пусть $ V $ — векторное пространство над полем действительных чисел $\mathbb{R}$ и $\varphi$ — линейный оператор на $ V $, имеющий в некотором базисе матрицу $A_{\varphi}=\begin{pmatrix}2 & -1\\1 & 1\end{pmatrix}$. Характеристический многочлен этого оператора равен: $\textrm{det}(tE-A_{\varphi})=\begin{vmatrix}t-2 & 1\\-1 & t-1\end{vmatrix}=t^2-3t+3$. Уравнение $t^2-3t+3=0$ не имеет корней в действительных числах, поэтому оператор $\varphi$ не имеет собственных значений.

Пример 4. Пусть в предыдущем примере векторное пространство $ V $ рассматривается над полем комплексных чисел $\mathbb{C}$. Тогда характеристическое уравнение оператора $\varphi$ имеет 2 корня $(3\pm\sqrt{3}\iota)/2$. Следовательно, оператор $\varphi$ имеет простой спектр и поэтому диагонализируем.

Литература

1) invariant
2) eigenvector
3) eigenvalue
4) Множество $V^a$ действительно является векторным пространством.
5) eigenspace
6) geometric multiplicity
7) spectrum
8) simple point
9) simple spectrum
10) см. определение размерности и предложение 1.
11) characteristic polynomial
12) characteristic equation
13) algebraic multiplicity
glossary/polynomial/characteristic.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:14:19 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0