Пересечение и сумма подпространств

проверено. нафиг тогда определение 1, если есть 1'?

Пересечение и сумма

Пусть $ U $ и $ W $подпространства векторного пространства $ V $ над полем $ F $.

Предложение 1. Пересечение $U\cap W$ подпространств $ U $ и $ W $ является векторным пространством.

Замечание 1. Объединение $U\cup W$ пространств $ U $ и $ W $ не обязано быть векторным пространством, как показано в следующем примере.

Пример 1. Пусть $V=F^2$, то есть множество векторов вида $(\alpha_1,\alpha_2)$, где $\alpha_1,\alpha_2\in F$. Базисом этого пространства служат вектора $e_1=(1,0)$ и $e_2=(0,1)$. Положим $U_1=\langle e_1\rangle_F$ и $U_2=\langle e_2\rangle_F$линейные оболочки векторов $e_1$ и $e_2$, соответственно. Сумма векторов $e_1+e_2$ не содержится в $U_1\cup U_2$.

Определение 1. Суммой1) подпространств $ U $ и $ W $ называется наименьшее подпространство в $ V $, содержащее $ U $ и $ W $, то есть

$U+W=\{u+w|u\in U,w\in W\}$.

Вообще говоря, можно определить сумму любого конечного числа подпространств:

Определение 1'. Сумма подпространств $U_1,U_2,\ldots,U_n$ в $ V $ — это наименьшее подпространство, содержащее все $U_i$, то есть

$U_1+\ldots+U_n=\{u_1+\ldots+u_n|u_i\in U_i\}$.

Предложение 2. Пусть $ U $ и $ W $ — подпространства конечномерного векторного пространства $ V $. Тогда

$\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)$.

Внутренняя прямая сумма

Определение 2. Пространство $ V $ называется прямой суммой2) своих векторных подпространств $U_1,U_2,\ldots,U_n$, если каждый вектор $v\in V$ может быть представлен одним и только одним способом в виде суммы

$v=u_1+\ldots+u_n,$ где $u_i\in U_i$.

Прямая сумма векторных пространств обозначается через $V=U_1\oplus U_2\oplus\ldots\oplus U_n$.

Замечание 2. Определенная таким образом прямая сумма называется внутренней.

Пример 2. Пусть $V=F^2$ и подпространства $U_1$ и $U_2$ определены также, как в примере 1. Тогда сумма $U_1+U_2$ является прямой, то есть $V=U_1\oplus U_2$.

Предложение 3. Сумма $V=U_1+\ldots+U_n$ является прямой тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих двух условий:

  1. $U_i\cap(U_1+\ldots+U_{i-1}+U_{i+1}+\ldots+U_n)=0$ для $i=1,2,\ldots,n$,
  2. $\dim V=\dim U_1+\dim U_2+\ldots+\dim U_n$.

Следствие 1. Если $n=2$, то сумма $V=U_1+U_2$ является прямой тогда и только тогда, когда $U_1\cap U_2=0$.

Предложение 4. Для любого $m$-мерного подпространства $U$ векторного пространства $V$ размерности $n$ найдется такое $n-m$-мерное подпространство $W$, что $V=U\oplus W$.

Определение 3. Для подпространства $U$ векторного пространства $V$ подпространство $W$ из предложения 4, то есть такое, что $V=U\oplus W$, называется дополнительным подпространством3) к $U$.

Внешняя прямая сумма

Пусть $ U $ и $ W $ — векторные пространства над полем $ F $.

Определение 4. Прямой суммой векторных пространств $ U $ и $ W $ называется декартово произведение $V=U\times W $ с операциями сложения векторов и умножения их на скаляр, определенными следующей формулой:

$\alpha(u,w)+\beta(u',w')=(\alpha u+\beta u',\alpha w+\beta w')$.

Замечание 3. Определенная таким образом прямая сумма называется внешней. Непосредственной проверкой можно убедиться, что внешняя прямая сумма векторных пространств является векторным пространством.

Предложение 5. Внешняя прямая сумма $U\oplus W$ пространств $ U $ и $ W $ обладает следующим свойством: если $\varphi\colon U\rightarrow U\oplus W$ и $\psi\colon W\rightarrow U\oplus W$ — линейные отображения, определенные условиями $\varphi(u)=(u,0)$, $\psi(v)=(0,v)$, то $U\oplus W$ является внутренней прямой суммой подпространств $\varphi(U)=\textrm{im}~\varphi$ и $\psi(W)=\textrm{im}~\psi$. Таким образом, $U\oplus W\cong\varphi(U)\oplus\psi(W)$.

Литература

1) sum of subspaces
2) direct sum
3) complementary subspace
glossary/space/linear/sum.txt · Последние изменения: 15.02.2014 16:13:53 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0