Содержание

Пересечение и сумма подпространств

Пересечение и сумма подпространств

проверено. нафиг тогда определение 1, если есть 1'?

Пересечение и сумма

Пусть $U$ и $W$ — подпространства векторного пространства $V$ над полем $F$ .

Предложение 1. Пересечение $U\cap W$ подпространств $U$ и $W$ является векторным пространством.

Замечание 1. Объединение $U\cup W$ пространств $U$ и $W$ не обязано быть векторным пространством, как показано в следующем примере.

Пример 1. Пусть $V=F^2$ , то есть множество векторов вида $(\alpha_1,\alpha_2)$ , где $\alpha_1,\alpha_2\in F$ . Базисом этого пространства служат вектора $e_1=(1,0)$ и $e_2=(0,1)$ . Положим $U_1=\langle e_1\rangle_F$ и $U_2=\langle e_2\rangle_F$ — линейные оболочки векторов $e_1$ и $e_2$ , соответственно. Сумма векторов $e_1+e_2$ не содержится в $U_1\cup U_2$ .

Определение 1. Суммой¹⁾ подпространств $U$ и $W$ называется наименьшее подпространство в $V$ , содержащее $U$ и $W$ , то есть

$U+W=\{u+w|u\in U,w\in W\}$ .

Вообще говоря, можно определить сумму любого конечного числа подпространств:

Определение 1'. Сумма подпространств $U_1,U_2,\ldots,U_n$ в $V$ — это наименьшее подпространство, содержащее все $U_i$ , то есть

$U_1+\ldots+U_n=\{u_1+\ldots+u_n|u_i\in U_i\}$ .

Предложение 2. Пусть $U$ и $W$ — подпространства конечномерного векторного пространства $V$ . Тогда

$\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)$ .

Внутренняя прямая сумма

Определение 2. Пространство $V$ называется прямой суммой²⁾ своих векторных подпространств $U_1,U_2,\ldots,U_n$ , если каждый вектор $v\in V$ может быть представлен одним и только одним способом в виде суммы

$v=u_1+\ldots+u_n,$ где $u_i\in U_i$ .

Прямая сумма векторных пространств обозначается через $V=U_1\oplus U_2\oplus\ldots\oplus U_n$ .

Замечание 2. Определенная таким образом прямая сумма называется внутренней.

Пример 2. Пусть $V=F^2$ и подпространства $U_1$ и $U_2$ определены также, как в примере 1. Тогда сумма $U_1+U_2$ является прямой, то есть $V=U_1\oplus U_2$ .

Предложение 3. Сумма $V=U_1+\ldots+U_n$ является прямой тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих двух условий:

$U_i\cap(U_1+\ldots+U_{i-1}+U_{i+1}+\ldots+U_n)=0$ для $i=1,2,\ldots,n$ ,
$\dim V=\dim U_1+\dim U_2+\ldots+\dim U_n$ .

Следствие 1. Если $n=2$ , то сумма $V=U_1+U_2$ является прямой тогда и только тогда, когда $U_1\cap U_2=0$ .

Предложение 4. Для любого $m$ -мерного подпространства $U$ векторного пространства $V$ размерности $n$ найдется такое $n-m$ -мерное подпространство $W$ , что $V=U\oplus W$ .

Определение 3. Для подпространства $U$ векторного пространства $V$ подпространство $W$ из предложения 4, то есть такое, что $V=U\oplus W$ , называется дополнительным подпространством³⁾ к $U$ .

Внешняя прямая сумма

Пусть $U$ и $W$ — векторные пространства над полем $F$ .

Определение 4. Прямой суммой векторных пространств $U$ и $W$ называется декартово произведение $V=U\times W$ с операциями сложения векторов и умножения их на скаляр, определенными следующей формулой:

$\alpha(u,w)+\beta(u',w')=(\alpha u+\beta u',\alpha w+\beta w')$ .

Замечание 3. Определенная таким образом прямая сумма называется внешней. Непосредственной проверкой можно убедиться, что внешняя прямая сумма векторных пространств является векторным пространством.

Предложение 5. Внешняя прямая сумма $U\oplus W$ пространств $U$ и $W$ обладает следующим свойством: если $\varphi\colon U\rightarrow U\oplus W$ и $\psi\colon W\rightarrow U\oplus W$ — линейные отображения, определенные условиями $\varphi(u)=(u,0)$ , $\psi(v)=(0,v)$ , то $U\oplus W$ является внутренней прямой суммой подпространств $\varphi(U)=\textrm{im}~\varphi$ и $\psi(W)=\textrm{im}~\psi$ . Таким образом, $U\oplus W\cong\varphi(U)\oplus\psi(W)$ .