Содержание
Пересечение и сумма подпространств
проверено. нафиг тогда определение 1, если есть 1'?
Пересечение и сумма
Пусть и
— подпространства векторного пространства
над полем
.
Предложение 1. Пересечение подпространств
и
является векторным пространством.
Замечание 1. Объединение пространств
и
не обязано быть векторным пространством, как показано в следующем примере.
Пример 1. Пусть , то есть множество векторов вида
, где
. Базисом этого пространства служат вектора
и
. Положим
и
— линейные оболочки векторов
и
, соответственно. Сумма векторов
не содержится в
.
Определение 1. Суммой1) подпространств и
называется наименьшее подпространство в
, содержащее
и
, то есть
.
Вообще говоря, можно определить сумму любого конечного числа подпространств:
Определение 1'. Сумма подпространств в
— это наименьшее подпространство, содержащее все
, то есть
.
Предложение 2. Пусть и
— подпространства конечномерного векторного пространства
. Тогда
.
Внутренняя прямая сумма
Определение 2. Пространство называется прямой суммой2) своих векторных подпространств
, если каждый вектор
может быть представлен одним и только одним способом в виде суммы
где
.
Прямая сумма векторных пространств обозначается через .
Замечание 2. Определенная таким образом прямая сумма называется внутренней.
Пример 2. Пусть и подпространства
и
определены также, как в примере 1. Тогда сумма
является прямой, то есть
.
Предложение 3. Сумма является прямой тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих двух условий:
для
,
.
Следствие 1. Если , то сумма
является прямой тогда и только тогда, когда
.
Предложение 4. Для любого -мерного подпространства
векторного пространства
размерности
найдется такое
-мерное подпространство
, что
.
Определение 3. Для подпространства векторного пространства
подпространство
из предложения 4, то есть такое, что
, называется дополнительным подпространством3) к
.
Внешняя прямая сумма
Пусть и
— векторные пространства над полем
.
Определение 4. Прямой суммой векторных пространств и
называется декартово произведение
с операциями сложения векторов и умножения их на скаляр, определенными следующей формулой:
.
Замечание 3. Определенная таким образом прямая сумма называется внешней. Непосредственной проверкой можно убедиться, что внешняя прямая сумма векторных пространств является векторным пространством.
Предложение 5. Внешняя прямая сумма пространств
и
обладает следующим свойством: если
и
— линейные отображения, определенные условиями
,
, то
является внутренней прямой суммой подпространств
и
. Таким образом,
.