Содержание

Полупрямое произведение групп

Полупрямое произведение групп

проверено

Внутреннее полупрямое произведение

Пусть $G$ — группа.

Определение 1. Говорят, что $G$ разлагается во (внутреннее) полупрямое произведение¹⁾ подгрупп $N$ и $H$ , если

$N$ — нормальная подгруппа;
$N\cap H=\{e\}$ ;
$NH=G$ .

При этом пишут $N\leftthreetimes H$ или $N\rtimes H$ . Также используются обозначения $H\rightthreetimes N$ или $H\ltimes N$ .

Предложение 1. Если $G=N\leftthreetimes H$ , то $G/N\cong H$ . Обратно, если $N$ — нормальная подгруппа, $H$ — подгруппа в $G$ и $G/N\cong H$ , то $G=N\leftthreetimes H$ .

Заметим, что $N$ и $H$ определяют $G=N\leftthreetimes H$ не однозначно. Если $G_1$ и $G_2$ содержат $N$ в качестве нормальной подгруппы, а $H$ в качестве подгруппы и $G_1=N\leftthreetimes H$ и $G_2=N\leftthreetimes H$ то отсюда не следует, что $G_1\cong G_2$ . Тем не менее, если рассмотреть действие $H$ на $N$ внутренними автоморфизмами

$\varphi\colon H\rightarrow\textrm{Aut}(N)\colon h\mapsto A_h$ , где $A_h(n)=hnh^{-1}$ ,

то $N$ , $H$ и $\varphi$ определяют $G$ однозначно. Обобщением данной конструкции служит внешнее полупрямое произведение.

Внешнее полупрямое произведение

Определение 2. Пусть $H$ и $N$ — группы, причем определен гомоморфизм $\varphi:H\rightarrow\textrm{Aut}(N)$ . Прямое произведение множеств $N\times H$ становится группой, если определить умножение при помощи формулы

$(n_1,h_1)(n_2,h_2)=(n_1\varphi(h_1)(n_2),h_1h_2)$ для всех $(n_1,h_1),(n_2,h_2)\in N\times H$ .

Эта группа называется внешним полупрямым произведением²⁾ групп $N$ и $H$ относительно $\varphi$ и обозначается $N\underset{\varphi}{\leftthreetimes}H$ или $N\underset{\varphi}{\rtimes}H$ .

Единичным элементом этой группы является $(e_N,e_H)$ , а обратным к элементу $(n,h)$ — элемент $(\varphi(h^{-1})(n^{-1}),h^{-1})$ .

Множество $N'=\{(n,e_H)\}$ является нормальной подгруппой, изоморфной $N$ , множество $H'=\{(e_N,h)\}$ — подгруппой, изоморфной $H$ , а $N'\leftthreetimes H'$ — внутренним полупрямым произведением $N'$ и $H'$ , изоморфным $N\underset{\varphi}{\leftthreetimes}H$ .

Пример 1. Если $\varphi$ — тривиальный гомоморфизм, то есть $\varphi(x)=e$ для всех $x\in H$ , то умножение будет задано формулой

$(n_1,h_1)(n_2,h_2)=(n_1n_2,h_1h_2)$ для всех $(n_1,h_1),(n_2,h_2)\in N\times H$ ,

и мы получим в точности прямое произведение групп.

Пример 2. Симметрическая группа $S_n$ раскладывается в полупрямое произведение $S_n=A_n\leftthreetimes\langle(1 2)\rangle$ , так как $A_n$ нормальна в $S_n$ ³⁾, $\langle(1 2)\rangle=\{e,(1 2)\}$ — подгруппа из двух элементов и $S_n=A_n\langle(1 2)\rangle$ .

Пример 3. Полная линейная группа $GL_n(F)$ является полупрямым произведением: $GL_n(F)=SL_n(F)\leftthreetimes\{\textrm{diag}(\lambda,1,\ldots,1),\lambda\in F\backslash\{0\}\}$ .

Пример 4. Полупрямое произведение группы классов вычетов $\mathbb{Z}_n$ и мультипликативной группы $\{-1,1\}$ является диэдральной группой.

Полупрямое произведение может быть описано при помощи точной последовательности <latex>e\rightarrow N\xrightarrow{i}N\leftthreetimes H\xrightarrow{\pi}H\rightarrow e</latex>.

Литература

Винберг Э.Б. «Курс алгебры», Факториал, 2002.
Холл М. «Теория групп», Иностранная литература, 1962.

абстрактная алгебра, группа, нормальная подгруппа, полупрямое произведение

¹⁾

inner semidirect product

²⁾

outer semidirect product

³⁾

см. пример 8

glossary/group/product/semidirect.txt · Последние изменения: 17.01.2011 02:51:17 — Ладилова Анна

Наверх