Полупрямое произведение групп

проверено

Внутреннее полупрямое произведение

Пусть $G$группа.

Определение 1. Говорят, что $G$ разлагается во (внутреннее) полупрямое произведение1) подгрупп $N$ и $H$, если

  1. $N\cap H=\{e\}$;
  2. $NH=G$.

При этом пишут $N\leftthreetimes H$ или $N\rtimes H$. Также используются обозначения $H\rightthreetimes N$ или $H\ltimes N$.

Предложение 1. Если $G=N\leftthreetimes H$, то $G/N\cong H$. Обратно, если $N$ — нормальная подгруппа, $H$ — подгруппа в $G$ и $G/N\cong H$, то $G=N\leftthreetimes H$.

Заметим, что $N$ и $H$ определяют $G=N\leftthreetimes H$ не однозначно. Если $G_1$ и $G_2$ содержат $N$ в качестве нормальной подгруппы, а $H$ в качестве подгруппы и $G_1=N\leftthreetimes H$ и $G_2=N\leftthreetimes H$ то отсюда не следует, что $G_1\cong G_2$. Тем не менее, если рассмотреть действие $H$ на $N$ внутренними автоморфизмами

$\varphi\colon H\rightarrow\textrm{Aut}(N)\colon h\mapsto A_h$, где $A_h(n)=hnh^{-1}$,

то $N$, $H$ и $\varphi$ определяют $G$ однозначно. Обобщением данной конструкции служит внешнее полупрямое произведение.

Внешнее полупрямое произведение

Определение 2. Пусть $H$ и $N$ — группы, причем определен гомоморфизм $\varphi:H\rightarrow\textrm{Aut}(N)$. Прямое произведение множеств $N\times H$ становится группой, если определить умножение при помощи формулы

$(n_1,h_1)(n_2,h_2)=(n_1\varphi(h_1)(n_2),h_1h_2)$ для всех $(n_1,h_1),(n_2,h_2)\in N\times H$.

Эта группа называется внешним полупрямым произведением2) групп $ N $ и $H$ относительно $\varphi$ и обозначается $N\underset{\varphi}{\leftthreetimes}H$ или $N\underset{\varphi}{\rtimes}H$.

Единичным элементом этой группы является $(e_N,e_H)$, а обратным к элементу $(n,h)$ — элемент $(\varphi(h^{-1})(n^{-1}),h^{-1})$.

Множество $N'=\{(n,e_H)\}$ является нормальной подгруппой, изоморфной $N$, множество $H'=\{(e_N,h)\}$ — подгруппой, изоморфной $H$, а $N'\leftthreetimes H'$ — внутренним полупрямым произведением $N'$ и $H'$, изоморфным $N\underset{\varphi}{\leftthreetimes}H$.

Пример 1. Если $\varphi$ — тривиальный гомоморфизм, то есть $\varphi(x)=e$ для всех $x\in H$, то умножение будет задано формулой

$(n_1,h_1)(n_2,h_2)=(n_1n_2,h_1h_2)$ для всех $(n_1,h_1),(n_2,h_2)\in N\times H$,

и мы получим в точности прямое произведение групп.

Пример 2. Симметрическая группа $S_n$ раскладывается в полупрямое произведение $S_n=A_n\leftthreetimes\langle(1 2)\rangle$, так как $A_n$ нормальна в $S_n$3), $\langle(1 2)\rangle=\{e,(1 2)\}$ — подгруппа из двух элементов и $S_n=A_n\langle(1 2)\rangle$.

Пример 3. Полная линейная группа $GL_n(F)$ является полупрямым произведением: $GL_n(F)=SL_n(F)\leftthreetimes\{\textrm{diag}(\lambda,1,\ldots,1),\lambda\in F\backslash\{0\}\}$.

Пример 4. Полупрямое произведение группы классов вычетов $\mathbb{Z}_n$ и мультипликативной группы $\{-1,1\}$ является диэдральной группой.

Полупрямое произведение может быть описано при помощи точной последовательности <latex>e\rightarrow N\xrightarrow{i}N\leftthreetimes H\xrightarrow{\pi}H\rightarrow e</latex>.

Литература

1) inner semidirect product
2) outer semidirect product
glossary/group/product/semidirect.txt · Последние изменения: 17.01.2011 05:51:17 — ladilova
Наверх
Яндекс.Метрика
CC Attribution-Noncommercial-Share Alike 3.0 Unported
chimeric.de = chi`s home Valid CSS Driven by DokuWiki do yourself a favour and use a real browser - get firefox!! Recent changes RSS feed Valid XHTML 1.0