Содержание
Полупрямое произведение групп
проверено
Внутреннее полупрямое произведение
Пусть — группа.
Определение 1. Говорят, что разлагается во (внутреннее) полупрямое произведение1) подгрупп
и
, если
;
.
При этом пишут или
. Также используются обозначения
или
.
Предложение 1. Если , то
. Обратно, если
— нормальная подгруппа,
— подгруппа в
и
, то
.
Заметим, что и
определяют
не однозначно. Если
и
содержат
в качестве нормальной подгруппы, а
в качестве подгруппы и
и
то отсюда не следует, что
. Тем не менее, если рассмотреть действие
на
внутренними автоморфизмами
, где
,
то ,
и
определяют
однозначно. Обобщением данной конструкции служит внешнее полупрямое произведение.
Внешнее полупрямое произведение
Определение 2. Пусть и
— группы, причем определен гомоморфизм
. Прямое произведение множеств
становится группой, если определить умножение при помощи формулы
для всех
.
Эта группа называется внешним полупрямым произведением2) групп и
относительно
и обозначается
или
.
Единичным элементом этой группы является , а обратным к элементу
— элемент
.
Множество является нормальной подгруппой, изоморфной
, множество
— подгруппой, изоморфной
, а
— внутренним полупрямым произведением
и
, изоморфным
.
Пример 1. Если — тривиальный гомоморфизм, то есть
для всех
, то умножение будет задано формулой
для всех
,
и мы получим в точности прямое произведение групп.
Пример 2. Симметрическая группа раскладывается в полупрямое произведение
, так как
нормальна в
3),
— подгруппа из двух элементов и
.
Пример 3. Полная линейная группа является полупрямым произведением:
.
Пример 4. Полупрямое произведение группы классов вычетов и мультипликативной группы
является диэдральной группой.
Полупрямое произведение может быть описано при помощи точной последовательности <latex>e\rightarrow N\xrightarrow{i}N\leftthreetimes H\xrightarrow{\pi}H\rightarrow e</latex>.
Литература
- Холл М. «Теория групп», Иностранная литература, 1962.