Диэдральная группа

проверено

Определение

Определение 1. Диэдральной группой¹⁾ называется всякая группа с двумя различными образующими порядка два.

Пример 1. Пусть $\mathbb{Z}_2=\{-1,1\}$ — мультипликативная группа классов вычетов по модулю 2 и $m\in\mathbb{Z},m\geqslant 2$ . Пусть $\mathbb{Z}_2$ действует на группу классов вычетов $\mathbb{Z}_m$ , полагая $(-1)\cdot x=-x$ . Тогда определено (внешнее) полупрямое произведение групп $\mathbb{Z}_2$ и $\mathbb{Z}_m$ , которое мы обозначим через $D_m$ , то есть $D_m=\mathbb{Z}_m\rtimes\mathbb{Z}_2$ . Это означает, что элементами $D_m$ будут пары $(x,\varepsilon)$ , где $\varepsilon=\pm 1,x\in\mathbb{Z}_m$ , а групповой закон в $D_m$ задается формулой $(x,\varepsilon)\cdot(x',\varepsilon')=(\varepsilon'x+x',\varepsilon\varepsilon')$ . Элементы $\rho=(\overline{0},-1)$ и $\rho'=(\overline{1},-1)$ являются образующими порядка 2 группы $D_m$ , так как

$(\overline{0},-1)(\overline{0},-1)=((-1)\cdot\overline{0}+\overline{0},(-1)^2)=(\overline{0},1)$ и $(\overline{1},-1)(\overline{1},-1)=((-1)\cdot\overline{1}+\overline{1},(-1)^2)=(\overline{0},1)$ .

Поскольку $(n\overline{1},1)=(\rho\rho')^n$ и $(n\overline{1},-1)=\rho(\rho\rho')^n$ , то элементы $\rho$ и $\rho'$ порождают $D_m$ . Таким образом, $D_m$ — диэдральная группа.