Группа определенная образующими и соотношениями

Описание

Говорят, что группа $G$ порождается множеством $S$ , если каждый элемент из $G$ может быть записан в виде конечного произведения элементов из $S$ и их обратных (причем пустое произведение всегда представляет единичный элемент $G$ ).

Определение 1. Если в группе $G$ существует конечное множество образующих, то она называется конечно порожденной¹⁾.

Определение 2. Пусть $S$ — множество, $F(S)$ — свободная группа, порожденная $S$ и $R$ — некоторое множество элементов из $F(S)$ . Пусть, кроме того, $N$ — наименьшая нормальная подгруппа в $F(S)$ , содержащая $R$ , то есть пересечение всех нормальных подгрупп, содержащих $R$ . Тогда $F(S)/N$ будет называться группой, определенной образующими²⁾ $S$ и соотношениями³⁾ $R$ и обозначаться $\langle S\vert R\rangle$ .

Примеры

Группа $\langle a|a^2\rangle$ , определенная одной образующей $a$ и соотношением $a^2$ , имеет порядок 2.
Любая свободная группа $F(S)=\langle S|\varnothing\rangle$ является группой с образующими $S$ и пустым множеством соотношений.